Calcule o fluxo de F através de S, onde F(x, y, z)=(x, 2 y, 3 z) e S é a superfície plana delimitada pelo triângulo de vértices (3,0,0),(0,3,0) e (0,0,3) e a normal se afasta da origem.

Passo 1

A questão pede o fluxo de vec F(x,y,z)=(x,2y,3z) através da superfície plana S que é o triângulo de vértices (3,0,0), (0,3,0) e (0,0,3), com a normal orientada para fora (ou seja, na direção de (1,1,1)). Vamos usar integral de superfície parametrizada.

Passo 2

A superfície está no plano x+y+z=3. Podemos parametrizar S usando (x,y) no triângulo D=(x,y):x>=0,y>=0,x+y<=3 com
r(x,y)=(x,y,3-x-y)
Então
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-1)
e o vetor de área orientado é
rxtimes ry=(1,1,1),
que aponta para fora.

Passo 3

Substituindo na força, temos
vec F( r(x,y))=(x,2y,3(3-x-y))=(x,2y,9-3x-3y)
O integrando do fluxo é
vec F( r(x,y))cdot( rxtimes ry) = x+2y+(9-3x-3y) =9-2x-y

Passo 4

Agora montamos a integral dupla sobre D:
Phi=integral duplaD(9-2x-y),dA =integralx=0^3integraly=0^3-x(9-2x-y),dy,dx
Fazendo a integral interna:
integral0^3-x(9-2x-y),dy=(9-2x)(3-x)-(3-x)^22=22.5-12x+1.5x^2
Agora a externa:
integral0^3(22.5-12x+1.5x^2),dx=27

Resposta

27

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