l integral2^3 1raiz3-x d x integral0^5 ww-2 d w integral0^3 d xx^2-6 x+5

Passo 1

Então, a gente tem a primeira integral . Essa integral envolve uma função com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos fazer a substituição . Isso significa que , ou seja, . Também precisamos mudar os limites de integração de para . Quando , então , e quando , .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral2^3 1raiz3-x , dx = integral1^0 1raizu , (-du) = integral0^1 1raizu , du

Passo 4

Agora, a integral 2raizu g|0^1 = 2raiz1 - 2raiz0 = 2 - 0 = 2 é igual a . Então, avaliando de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral . Essa expressão tem um termo fração que podemos simplificar para facilitar a integração. Vamos separar a fração em partes mais simples.

Passo 6

Podemos reescrever integral0^5 (1 + 2w-2) , dw = integral0^5 1 , dw + 2 integral0^5 1w-2 , dw como . Assim, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1 , dw = w
integral 1w-2 , dw = ln|w-2|

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
[w]0^5 + 2[ln|w-2|]0^5 = (5 - 0) + 2(ln|3| - ln| -2|)
Sabemos que 5 + 2(ln 3 - ln 2) = 5 + 2 ln(32) , então:

Passo 9

Por último, vamos resolver a terceira integral . Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar a integração.

Passo 10

O denominador 1(x-1)(x-5) pode ser fatorado como . Então, a fração fica:
Vamos usar frações parciais para separar essa expressão.

Passo 11

Assumimos que:
1(x-1)(x-5) = Ax-1 + Bx-5
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x-5) + B(x-1) :

Passo 12

Para encontrar 1 = A(0) + B(4) Rightarrow B = 14 e 1 = A(-4) + B(0) Rightarrow A = -14 , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 13

Agora, podemos reescrever a integral:
integral 1(x-1)(x-5) , dx = integral ( -14x-1 + 14x-5 ) , dx
= -14 integral 1x-1 , dx + 14 integral 1x-5 , dx

Passo 14

Integrando:
-14 ln|x-1| + 14 ln|x-5| + C
Onde [ -14 ln|3-1| + 14 ln|3-5| ] - [ -14 ln|0-1| + 14 ln|0-5| ] é a constante de integração. Como é uma integral definida de 0 a 3, aplicamos os limites:
= [ -14 ln 2 + 14 ln 2 ] - [ -14 ln 1 + 14 ln 5 ]
= 0 - [ 0 + 14 ln 5 ] = -14 ln 5

Resposta

O valor da terceira integral é .

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