Então, a gente tem a primeira integral . Essa integral envolve uma função com uma raiz quadrada no denominador. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Vamos fazer a substituição . Isso significa que , ou seja, . Também precisamos mudar os limites de integração de para . Quando , então , e quando , .
Passo 3
Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, a integral é igual a . Então, avaliando de 0 a 1:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral . Essa expressão tem um termo fração que podemos simplificar para facilitar a integração. Vamos separar a fração em partes mais simples.
Passo 6
Podemos reescrever integral0^5 (1 + 2w-2) , dw = integral0^5 1 , dw + 2 integral0^5 1w-2 , dw como . Assim, a integral fica:
Por último, vamos resolver a terceira integral . Primeiro, precisamos fatorar o denominador para facilitar a integração.
Passo 10
O denominador 1(x-1)(x-5) pode ser fatorado como . Então, a fração fica:
Vamos usar frações parciais para separar essa expressão.
Passo 11
Assumimos que:
1(x-1)(x-5) = Ax-1 + Bx-5
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x-5) + B(x-1) :
Passo 12
Para encontrar 1 = A(0) + B(4) Rightarrow B = 14 e 1 = A(-4) + B(0) Rightarrow A = -14 , escolhemos valores de que simplificam a equação:
Se :
Se :
Passo 13
Agora, podemos reescrever a integral:
integral 1(x-1)(x-5) , dx = integral ( -14x-1 + 14x-5 ) , dx
= -14 integral 1x-1 , dx + 14 integral 1x-5 , dx
Passo 14
Integrando:
-14 ln|x-1| + 14 ln|x-5| + C
Onde [ -14 ln|3-1| + 14 ln|3-5| ] - [ -14 ln|0-1| + 14 ln|0-5| ] é a constante de integração. Como é uma integral definida de 0 a 3, aplicamos os limites: