Determine se a série verifica as condições do teste para séries alternadas e se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para verificar as condições do teste de séries alternadas (Leibniz) na série
, e decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste de Leibniz e também checar convergência absoluta por comparação.
Passo 2
Identificamos os termos positivos
e o fator alternante
. Para aplicar o teste de Leibniz precisamos de duas coisas: que
seja monótona decrescente e que
quando
.
Passo 3
Mostramos que
é decrescente, pois para todo
temos denominadores crescentes e, portanto,
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Isso garante
.
Passo 4
Calculamos o limite de
:
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ou seja,
.
Passo 5
Pelo teste de Leibniz, como
,
é decrescente e
, a série alternada converge.
Passo 6
Para verificar convergência absoluta, comparamos
com
. Como
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e
é uma série p com
que converge, segue que
também converge.
Passo 7
Logo, além de convergir pelo teste de Leibniz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série satisfaz as condições do teste de séries alternadas (Leibniz) e converge. Além disso, converge absolutamente.