Determine se a série verifica as condições do teste para séries alternadas e se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+7

Passo 1

O enunciado pede para verificar as condições do teste de séries alternadas (Leibniz) na série sumn=1^infty(-1)^n-11n^2+7, e decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste de Leibniz e também checar convergência absoluta por comparação.

Passo 2

Identificamos os termos positivos bn=1n^2+7 e o fator alternante (-1)^n-1. Para aplicar o teste de Leibniz precisamos de duas coisas: que bn seja monótona decrescente e que bnto 0 quando ntoinfty.

Passo 3

Mostramos que bn é decrescente, pois para todo n>=1 temos denominadores crescentes e, portanto,
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1(n+1)^2+7 < 1n^2+7
Isso garante bn+1.

Passo 4

Calculamos o limite de bn:
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limntoinfty1n^2+7=0,
ou seja, bnto 0.

Passo 5

Pelo teste de Leibniz, como bn>0, bn é decrescente e bnto 0, a série alternada converge.

Passo 6

Para verificar convergência absoluta, comparamos sum bn=sum1n^2+7 com sum1n^2. Como
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0<1n^2+7<1n^2,
e sum1n^2 é uma série p com p=2>1 que converge, segue que sum1n^2+7 também converge.

Passo 7

Logo, além de convergir pelo teste de Leibniz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série satisfaz as condições do teste de séries alternadas (Leibniz) e converge. Além disso, converge absolutamente.

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