Determine se a série verifica as condições do teste para séries alternadas e se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n e^2 n+1e^2 n-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternada sumn=1^infty(-1)^n e^2 n+1e^2 n-1. O conteúdo é o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige que os termos positivos an sejam não crescentes e tendam a zero.

Passo 2

Definimos an = e^2n+1e^2n-1. Observamos que an>0 para todo n, mas precisamos verificar o limite limntoinfty an.

Passo 3

Como e^2n cresce muito rápido, para n grande temos e^2n+1sim e^2n e e^2n-1sim e^2n. Logo,
limntoinfty an = limntoinfty e^2n+1e^2n-1 = 1

Passo 4

Como o termo geral não tende a zero, a condição necessária para qualquer série convergir falha. Em particular, não satisfaz o teste de Leibniz.

Passo 5

Portanto, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados