Calcule o fluxo de F(x, y, z)=x i+y j+z k através da superfície sigma(u, v)= (u, v, 1-u-v) limitado por u>0, v>0 e u+v <= 1, com a normal que aponta para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z) = x,hat i + y,hat j + z,hat k através da superfície sigma(u,v) = (u,v,1-u-v), limitada pelo triângulo u>=0, v>=0, u+v<=1, com a normal apontando para fora. Vamos usar o parâmetro (u,v) e a definição de fluxo por parametrização de superfície.

Passo 2

Primeiro, encontramos os vetores tangentes:
sigmau = partialsigmapartial u = (1,0,-1), sigmav = partialsigmapartial v = (0,1,-1)

Passo 3

O vetor normal orientado dado pela parametrização é
N = sigmau times sigmav = hat i & hat j & hat k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = (1,1,1)

Passo 4

Precisamos checar se N=(1,1,1) aponta para fora do tetraedro definido por x,y,z>=0 e x+y+z<=1. Como o interior do tetraedro é dado por x+y+z<=1, a normal (1,1,1) aponta para o lado x+y+z>1, ou seja, para fora. Está correta.

Passo 5

Agora avaliamos vec F na superfície e fazemos o produto escalar:
vec F(sigma(u,v)) = (u,,v,,1-u-v),
vec Fl(sigma(u,v)r) cdot N = u + v + (1 - u - v) = 1

Passo 6

O elemento de área orientado é exatamente N,du,dv, então o fluxo fica
integral duplaSigma vec Fcdothat n,dS = integral duplaD vec F(sigma(u,v))cdotl(sigmautimessigmavr),du,dv = integral duplaD 1,du,dv

Passo 7

Por fim, cálculo da área do domínio D, que é o triângulo de vértices (0,0),(1,0),(0,1). Sua área é tfrac12. Portanto, o fluxo é
integral duplaD 1,du,dv = 12

Resposta

tfrac12

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