Calcule o fluxo de através da superfície limitado por e , com a normal que aponta para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de através da superfície , limitada pelo triângulo , com a normal apontando para fora. Vamos usar o parâmetro e a definição de fluxo por parametrização de superfície.
Passo 2
Primeiro, encontramos os vetores tangentes:
Passo 3
O vetor normal orientado dado pela parametrização é
Passo 4
Precisamos checar se N=(1,1,1) aponta para fora do tetraedro definido por x,y,z>=0 e x+y+z<=1. Como o interior do tetraedro é dado por x+y+z<=1, a normal (1,1,1) aponta para o lado x+y+z>1, ou seja, para fora. Está correta.
Passo 5
Agora avaliamos vec F na superfície e fazemos o produto escalar:
vec F(sigma(u,v)) = (u,,v,,1-u-v),
vec Fl(sigma(u,v)r) cdot N = u + v + (1 - u - v) = 1
Passo 6
O elemento de área orientado é exatamente N,du,dv, então o fluxo fica
integral duplaSigma vec Fcdothat n,dS = integral duplaD vec F(sigma(u,v))cdotl(sigmautimessigmavr),du,dv = integral duplaD 1,du,dv
Passo 7
Por fim, cálculo da área do domínio D, que é o triângulo de vértices (0,0),(1,0),(0,1). Sua área é tfrac12. Portanto, o fluxo é