Calcule partial zpartial x(x, y) e partial zpartial y(x, y) para
z=arctg(x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de $ z = \arctan(x^{2} + y^{2}) $ em relação a $ x $ e a $ y $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Observamos que $ z $ é uma função composta: a função arco-tangente ($ \arctan $) aplicada a $ u = x^{2} + y^{2} $.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ z $ em relação a $ x $ é a derivada da função externa ($ \arctan $) em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $:
z

Passo 4

Sabemos que a derivada de $ \arctan(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{1 + u^{2}} $. E a derivada de $ u = x^{2} + y^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $. Substituindo essas derivadas na expressão:
arctan(u)

Passo 5

Simplificando, temos:
partial zpartial x = 2x1 + (x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. O processo é bem parecido com o que fizemos para $ x $.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia novamente:
partial zpartial y = ddu arctan(u) cdot partial upartial y

Passo 8

Usando as mesmas derivadas que antes, sabemos que $ \frac{d}{du} \arctan(u) = \frac{1}{1 + u^{2}} $ e $ \frac{\partial u}{\partial y} = 2y $. Substituindo na expressão:
ddu arctan(u) = 11 + u^2

Passo 9

Simplificando, obtemos:
partial zpartial y = 2y1 + (x^2 + y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2x1 + (x^2 + y^2)^2 e partial zpartial y = 2y1 + (x^2 + y^2)^2

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