Calcule
e
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de $ z = \arctan(x^{2} + y^{2}) $ em relação a $ x $ e a $ y $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Observamos que $ z $ é uma função composta: a função arco-tangente ($ \arctan $) aplicada a $ u = x^{2} + y^{2} $.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ z $ em relação a $ x $ é a derivada da função externa ($ \arctan $) em relação a $ u $ multiplicada pela derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Sabemos que a derivada de $ \arctan(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{1 + u^{2}} $. E a derivada de $ u = x^{2} + y^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $. Substituindo essas derivadas na expressão:
Passo 5
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. O processo é bem parecido com o que fizemos para $ x $.
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 8
Usando as mesmas derivadas que antes, sabemos que $ \frac{d}{du} \arctan(u) = \frac{1}{1 + u^{2}} $ e $ \frac{\partial u}{\partial y} = 2y $. Substituindo na expressão:
Passo 9
Simplificando, obtemos:
Resposta
As derivadas parciais são: