A Lemniscata de Bernoulli é uma curva algébrica de formato similar ao símbolo do infinito. Sua equação cartesiana é
, sendo
. Determine a equação polar para a Lemniscata de Bernoulli e a área da figura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar a equação da Lemniscata de Bernoulli da forma cartesiana para polar e depois calcular a área dessa figura. Vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares e integração para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
. As relações são:
Vamos substituir essas nas equações da lemniscata.
Passo 3
A equação cartesiana dada é:
Substituindo
e
pelas expressões em termos de
e
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Podemos dividir ambos os lados por
(considerando
):
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Para deixar a equação mais simples, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Essa é a equação polar da Lemniscata de Bernoulli.
Passo 6
Agora, vamos calcular a área da figura. Em coordenadas polares, a área
é dada por:
Para a lemniscata, vamos calcular a área de uma das “bolsas” e depois multiplicar por 2.
Passo 7
Substituindo
pela equação que encontramos:
Simplificando:
Passo 8
Integrando
:
Calculando os limites:
Resposta
A equação polar da Lemniscata de Bernoulli é
e a área da figura é
.