A Lemniscata de Bernoulli é uma curva algébrica de formato similar ao símbolo do infinito. Sua equação cartesiana é (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2), sendo a>0. Determine a equação polar para a Lemniscata de Bernoulli e a área da figura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para transformar a equação da Lemniscata de Bernoulli da forma cartesiana para polar e depois calcular a área dessa figura. Vamos precisar usar conhecimentos de coordenadas polares e integração para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para polares . As relações são:
Vamos substituir essas nas equações da lemniscata.

Passo 3

A equação cartesiana dada é:
(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)
Substituindo (r^2)^2 = a^2(r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 theta) e r^4 = a^2 r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) pelas expressões em termos de e :
Isso simplifica para:

Passo 4

Podemos dividir ambos os lados por r^2 = a^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) (considerando r^2 = a^2 cos 2theta ):
Sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Para deixar a equação mais simples, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
r = a raizcos 2theta
Essa é a equação polar da Lemniscata de Bernoulli.

Passo 6

Agora, vamos calcular a área da figura. Em coordenadas polares, a área A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta é dada por:
Para a lemniscata, vamos calcular a área de uma das “bolsas” e depois multiplicar por 2.

Passo 7

Substituindo A = 2 times ( 12 integral-pi/4^pi/4 a^2 cos 2theta , dtheta ) pela equação que encontramos:
A = a^2 integral-pi/4^pi/4 cos 2theta , dtheta
Simplificando:

Passo 8

Integrando A = a^2 [ sin 2theta2 ]-pi/4^pi/4 :
A = a^2 ( sin (pi/2)2 - sin (-pi/2)2 ) = a^2 ( 12 - ( -12 ) ) = a^2
Calculando os limites:

Resposta

A equação polar da Lemniscata de Bernoulli é e a área da figura é .

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