Considere f(x, y)=raiz-x^2-y^2+4.
Determine todas as curvas de níveis. Esboça, no plano xOy, duas curvas de níveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar todas as curvas de nível da função . Isso faz parte do estudo de funções de duas variáveis na matemática, onde curvas de nível são como “fatias” da função onde ela mantém um valor constante. Para resolver, vamos encontrar as equações dessas curvas e desenhar duas delas no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos f(x, y) = c onde a função raiz-x^2 - y^2 + 4 = c é igual a um valor constante . Ou seja, queremos resolver a equação:
Substituindo a função dada:

Passo 3

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(-x^2 - y^2 + 4) = c^2
Agora, vamos rearranjar os termos para deixar a equação mais clara:
x^2 + y^2 = 4 - c^2

Passo 4

Olha só, essa é a equação de um círculo com centro na origem 4 - c^2 >= 0 implies c^2 <= 4 implies |c| <= 2 e raio . Isso significa que para cada valor de , temos um círculo diferente. Mas atenção: para que o raio seja real, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo:
Como representa um valor de uma raiz quadrada, consideramos . Portanto, varia de a .

Passo 5

Então, todas as curvas de nível da função são círculos com centro na origem e raio para .

Passo 6

Vamos esboçar duas curvas de nível. Por exemplo:
  1. Para x^2 + y^2 = 4 - 1^2 = 3 implies r = raiz3 :
x^2 + y^2 = 4 - 2^2 = 0 implies r = 0
  1. Para :
O primeiro é um círculo com raio e o segundo é apenas o ponto .

Resposta

Todas as curvas de nível são círculos centrados na origem com raio para . Dois exemplos são:
  1. Para :
  2. Para : (ponto )

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