4- Calcule o fluxo de F(x, y, z)=x l+y j+z k que passa pela superfície dada pelo plano sigma : 3 x+2 y+z=6 no primeiro octante, com orientação positiva

Passo 1

A questão pede o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=x, i + y, j + z, k através da porção do plano sigma:,3x+2y+z=6 localizada no primeiro octante, com orientação positiva (normal apontando para fora do sólido 3x+2y+z<=6). Vamos usar a teoria de integrais de superfície de um campo vetorial em gráfica de função (superfície paramétrica).

Passo 2

Primeiro representamos a superfície como gráfico de z=f(x,y). Da equação do plano temos
z = 6 - 3x - 2y
e o domínio D no plano xy é o triângulo definido por x>=0, y>=0 e 3x+2y<=6.

Passo 3

Definimos a parametrização r(x,y)=(x,,y,,6-3x-2y). Calculamos
rx=(1,,0,,-3), ry=(0,,1,,-2)
O vetor normal orientado externamente ao sólido é
n = rx times ry = (3,,2,,1)

Passo 4

Substituímos z=6-3x-2y em F e fazemos o produto escalar com n:
F( r(x,y))=(x,,y,,6-3x-2y),
Fcdot n = (x,,y,,6-3x-2y)cdot(3,,2,,1) = 3x+2y+6-3x-2y = 6

Passo 5

Como o integrando é constante, o fluxo é
integral duplasigma Fcdot n,dS = integral duplaD 6,dA = 6cdot Área(D)Á
O domínio D é triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,3), cuja área vale
12cdot2cdot3 = 3

Resposta

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