Considerando que a definição da derivada de uma função
, em um ponto
, é dada por:
calcule a derivada,
, pela definição, a partir da função
e do ponto
dados abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como encontrar a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função
no ponto
:
Isso significa que a derivada é o limite da razão entre a diferença dos valores da função e a diferença nos pontos, quando
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na fórmula. Nossa função é
e
. Então:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Observamos que
pode ser fatorado como
. Substituindo isso na expressão:
Note que
, então:
Aqui, cancelamos o termo
no numerador e denominador.
Passo 6
Agora, podemos substituir
diretamente na expressão simplificada:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.