Considerando que a definição da derivada de uma função f, em um ponto x0, é dada por:
f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0
calcule a derivada, f^prime(x0), pela definição, a partir da função f e do ponto x0 dados abaixo:
f(x)=1x^2, x0=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = 1x^2 no ponto x0 = 1 usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como encontrar a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função f no ponto x0 :
f^prime(x0) = limx to x0 f(x) - f(x0)x - x0
Isso significa que a derivada é o limite da razão entre a diferença dos valores da função e a diferença nos pontos, quando x se aproxima de x0 .

Passo 3

Agora, vamos substituir f(x) e x0 na fórmula. Nossa função é f(x) = 1x^2 e x0 = 1 . Então:
f^prime(1) = limx to 1 1x^2 - 11^2x - 1 = limx to 1 1x^2 - 1x - 1

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
1x^2 - 1 = 1 - x^2x^2
Então, a expressão fica:
f^prime(1) = limx to 1 1 - x^2x^2x - 1 = limx to 1 1 - x^2x^2(x - 1)

Passo 5

Observamos que 1 - x^2 pode ser fatorado como (1 - x)(1 + x) . Substituindo isso na expressão:
f^prime(1) = limx to 1 (1 - x)(1 + x)x^2(x - 1)
Note que 1 - x = -(x - 1) , então:
f^prime(1) = limx to 1 -(x - 1)(1 + x)x^2(x - 1) = limx to 1 -(1 + x)x^2
Aqui, cancelamos o termo (x - 1) no numerador e denominador.

Passo 6

Agora, podemos substituir x = 1 diretamente na expressão simplificada:
f^prime(1) = -(1 + 1)1^2 = -21 = -2

Resposta

A derivada de f no ponto x0 = 1 é f^prime(1) = -2 .

Exercícios relacionados