Calcule o fluxo de F=z i+y j+x k através da esfera de raio 3 e centro na origem.

Passo 1

A questão pergunta o fluxo de vec F = z,vec i + y,vec j + x,vec k através da esfera de raio 3 centrada na origem. O conteúdo principal aqui é fluxo de campo vetorial em superfície fechada e vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar.

Passo 2

O Teorema da Divergência (ou Gauss) diz que o fluxo de vec F através da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de vec F no volume V delimitado por S:
integral duplaS vec F cdot vec n,dS = integral triplaV (nabla cdot vec F),dV

Passo 3

Precisamos calcular a divergência de vec F. Como vec F = (z,y,x), temos
nabla cdot vec F = partialpartial x(z) + partialpartial y(y) + partialpartial z(x) = 0 + 1 + 0 = 1

Passo 4

Como nablacdotvec F é constante igual a 1, a integral tripla fica
integral triplaV (nablacdotvec F),dV = 1 cdot integral triplaV dV = Vol(V)

Passo 5

O volume de uma esfera de raio 3 é
Vol(V) = 43pi (3)^3 = 36pi

Resposta

36\pi

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