Questão 3: Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x 5 x^3-10 x^2+25 xx^3-25 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limx 5 x^3-10x^2+25xx^3-25x
Este é um problema de limite de função racional. Para resolvê-lo vamos precisar: avaliar a substituição direta, identificar indeterminação, fatorar numerador e denominador e então simplificar antes de avaliar o limite.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta de x=5 na função. No numerador temos
5^3-10cdot5^2+25cdot5 = 125 - 250 +125 = 0
e no denominador
5^3-25cdot5 = 125 -125 = 0
Como obtemos 0/0, estamos diante de uma forma indeterminada. Precisamos fatorar para simplificar.

Passo 3

Vamos fatorar separadamente o numerador e o denominador:
x^3-10x^2+25x = xl(x^2-10x+25r) = x(x-5)^2
x^3-25x = x(x^2-25) = x(x-5)(x+5)

Passo 4

Agora substituímos essas fatorações na expressão original e cancelamos os fatores comuns x e (x-5):
x(x-5)^2x(x-5)(x+5) = x-5x+5, xneq0,5
Em seguida, aplicamos o limite na expressão simplificada:

Passo 5

Aplicando xto5 em (x-5)/(x+5) obtemos
5-55+5 = 010 = 0
Portanto o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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