Seja f: R^3 R^2 a função definida por
f(x, y, z)=(z e^x+y+sen(x), ln (1+z)+arctan (y))
Calcular o polinomio de Taylor de ordem 1 de f em (0,0,0).

Passo 1

Temos a função f: R^3 to R^2 definida por
f(x,y,z) = l(z e^x+y + sin(x), ln(1+z) + arctan(y)r)
O conteúdo é polinômio de Taylor de ordem 1 para funções de várias variáveis, e vamos precisar calcular f(0,0,0) e a Jacobiana Df em (0,0,0).

Passo 2

Primeiro calculamos f(0,0,0). Como sin(0)=0, e^0=1, ln(1)=0 e arctan(0)=0, temos
f(0,0,0) = (0cdot1 + 0,;0 + 0) = (0,0)
Logo, f(0,0,0) = (0,0).

Passo 3

Agora calculamos a Jacobiana Df(x,y,z), isto é, a matriz dos parciais de f1 e f2. Para f1(x,y,z)=z e^x+y+sin(x) temos
partial f1partial x = z e^x+y + cos(x), partial f1partial y = z e^x+y, partial f1partial z = e^x+y
Para f2(x,y,z)=ln(1+z)+arctan(y) temos
partial f2partial x = 0, partial f2partial y = 11+y^2, partial f2partial z = 11+z
Avaliando em (0,0,0), em que e^0=1 e cos(0)=1, resulta
Df(0,0,0) = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1

Passo 4

Finalmente, o polinômio de Taylor de ordem 1 em (0,0,0) é dado por
T1(x,y,z) = f(0,0,0) + Df(0,0,0)xyz = 00 + 1 & 0 & 10 & 1 & 1xyz = x+zy+z
e portanto T1(x,y,z) = (x+z,,y+z).

Resposta

T1(x,y,z) = (x+z,,y+z)

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