Seja f: R^2 R a função definida por
f(x, y)=(e^x cos y)-1
a. Verificar que para todo (x, y) in R^2,
|x|+|y| <= raiz2 raizx^2+y^2
b. Provar que podemos escrever f da forma
f(x, y)=T2(x, y)+R(x, y)
com T2 um polinomio de grau 2 e R tal que existe uma constante C>0 tal que para todo |(x, y)| <= 1 temos
|R(x, y)| <= C|(x, y)|^3
c. Estudar a convergencia da série .

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) mostrar a desigualdade de norma escalar em ℝ², (b) escrever f(x,y)=e^x
cos
y−1 como soma de um polinômio de grau 2 T₂(x,y) e de um resto R(x,y) com |R(x,y)|≤C||(x,y)||³ quando ||(x,y)||≤1, e © estudar a convergência da série ∑_{n=1}^∞ f(z_n) para z_n=((−1)^n/√n,1/√n). Vamos usar desigualdade de Cauchy-Schwarz, expansão em séries de potências (Taylor) e testes de séries.

Passo 2

Para provar que |x|+|y|≤√2√{x²+y²} basta aplicar Cauchy-Schwarz a (|x|,|y|)·(1,1):
(|x|+|y|)² = (|x|·1 + |y|·1)² ≤ (x²+y²)(1²+1²) = 2(x²+y²), ²²²²²²²²
de onde segue a desigualdade desejada.

Passo 3

Usando as séries em potências em torno de (0,0):
e^x = 1 + x + tfracx²2 + tfracx³6 + ⋯, ²³
cos y = 1 - tfracy²2 + tfracy⁴24 + ⋯, ²
multiplicamos e subtraímos 1 para obter f. Truncando até grau 2 obtemos
T₂(x,y) = x + tfracx²2 - tfracy²2 ²²
definimos R(x,y)=f(x,y)−T₂(x,y).

Passo 4

Como a expansão de f é absolutamente convergente num disco de raio 1, os termos de ordem ≥3 satisfazem
|R(x,y)| = l|sumi+j≥3 aijx^i y^jr| ≤ l(sumi+j≥3|aij|r) |(x,y)|³, ³
logo existe C>0 tal que para ||(x,y)||≤1 valha |R(x,y)|≤C|| (x,y) ||³.

Passo 5

Tomando z_n = ((−1)^n/√n,1/√n) temos ||z_n|| = √{(1/n)+(1/n)} = √2/√n ≤1 a partir de n≥1, e
T₂(zn) = (−1)^n/√n + tfrac1/(n)2 - tfrac1/(n)2 = (−1)^n/√n,
enquanto
|R(zn)| ≤ C |(zn)|³ = C(√2/√n)³ = C2^3/2 n^−3/2 ³³
Assim ∑T₂(z_n)=∑(−1)^n/√n converge por Leibniz (condicionalmente) e ∑|R(z_n)| converge por p-série com p=3/2>1, logo ∑f(z_n)=∑T₂(z_n)+∑R(z_n) converge.

Passo 6

Juntando tudo, a série ∑_{n=1}^∞ f(z_n) converge, mas não absolutamente, pois a parte principal ∑(−1)^n/√n só converge condicionalmente.

Resposta

A série ∑_{n=1}^∞ f(z_n) converge condicionalmente (converge mas não converge absolutamente).

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