Seja
a função definida por
a. Verificar que para todo
,
b. Provar que podemos escrever
da forma
com
um polinomio de grau 2 e
tal que existe uma constante
tal que para todo
temos
c. Estudar a convergencia da série
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) mostrar a desigualdade de norma escalar em ℝ², (b) escrever f(x,y)=e^x
cos
y−1 como soma de um polinômio de grau 2 T₂(x,y) e de um resto R(x,y) com |R(x,y)|≤C||(x,y)||³ quando ||(x,y)||≤1, e © estudar a convergência da série ∑_{n=1}^∞ f(z_n) para z_n=((−1)^n/√n,1/√n). Vamos usar desigualdade de Cauchy-Schwarz, expansão em séries de potências (Taylor) e testes de séries.
cos
y−1 como soma de um polinômio de grau 2 T₂(x,y) e de um resto R(x,y) com |R(x,y)|≤C||(x,y)||³ quando ||(x,y)||≤1, e © estudar a convergência da série ∑_{n=1}^∞ f(z_n) para z_n=((−1)^n/√n,1/√n). Vamos usar desigualdade de Cauchy-Schwarz, expansão em séries de potências (Taylor) e testes de séries.
Passo 2
Para provar que |x|+|y|≤√2√{x²+y²} basta aplicar Cauchy-Schwarz a (|x|,|y|)·(1,1):
de onde segue a desigualdade desejada.
Passo 3
Usando as séries em potências em torno de (0,0):
multiplicamos e subtraímos 1 para obter f. Truncando até grau 2 obtemos
definimos R(x,y)=f(x,y)−T₂(x,y).
Passo 4
Como a expansão de f é absolutamente convergente num disco de raio 1, os termos de ordem ≥3 satisfazem
logo existe C>0 tal que para ||(x,y)||≤1 valha |R(x,y)|≤C|| (x,y) ||³.
Passo 5
Tomando z_n = ((−1)^n/√n,1/√n) temos ||z_n|| = √{(1/n)+(1/n)} = √2/√n ≤1 a partir de n≥1, e
enquanto
Assim ∑T₂(z_n)=∑(−1)^n/√n converge por Leibniz (condicionalmente) e ∑|R(z_n)| converge por p-série com p=3/2>1, logo ∑f(z_n)=∑T₂(z_n)+∑R(z_n) converge.
Passo 6
Juntando tudo, a série ∑_{n=1}^∞ f(z_n) converge, mas não absolutamente, pois a parte principal ∑(−1)^n/√n só converge condicionalmente.
Resposta
A série ∑_{n=1}^∞ f(z_n) converge condicionalmente (converge mas não converge absolutamente).