Calcule o fluxo do rotacional do campo F(x, y, z)=(x^3 y, z y^2, x z) ao longo da superfície x^2-y^2-z^2=1 com 1 <= x <= 2. Escolha a orientação de modo que o vetor (-1,0,0) esteja no campo normal definido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial ao longo de uma superfície definida pela equação com . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo vetorial e o fluxo através de uma superfície. Vamos precisar entender o que é o rotacional, como calcular o fluxo e aplicar algum teorema que nos ajude a simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou “curl” em inglês, de um campo nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y ) é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso campo .

Passo 3

Calculando cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = partial (x z)partial y - partial (z y^2)partial z = 0 - y^2 = -y^2
  1. Segunda componente:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = partial (x^3 y)partial z - partial (x z)partial x = 0 - z = -z
  1. Terceira componente:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = partial (z y^2)partial x - partial (x^3 y)partial y = 0 - x^3 = -x^3
Então, o rotacional de nabla times F = (-y^2, -z, -x^3) é:

Passo 4

Agora, queremos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície integral duplaS G cdot n , dS definida por com . O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Para simplificar o cálculo do fluxo, podemos usar o teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Então, em vez de calcular diretamente o fluxo, podemos calcular a integral de linha ao longo da borda da superfície .

Passo 6

Vamos identificar a borda da superfície . A superfície com é um hiperboloide de uma folha cortado entre e . A borda consiste em duas curvas:
  1. Quando : , que é apenas o ponto .
  2. Quando : , que é um círculo no plano com raio .
Portanto, é apenas o círculo no , já que o ponto no não contribui para a integral de linha.

Passo 7

Vamos parametrizar a curva y = raiz3 cos theta, z = raiz3 sin theta, theta in [0, 2pi] no r(theta) = (2, raiz3 cos theta, raiz3 sin theta) . Usamos coordenadas polares no plano drdtheta = (0, -raiz3 sin theta, raiz3 cos theta) :
Então, a parametrização da curva é:
Derivando em relação a :

Passo 8

Agora, vamos calcular F(r(theta)) = ((2)^3 cdot raiz3 cos theta, (raiz3 sin theta) cdot (raiz3 cos theta)^2, 2 cdot raiz3 sin theta) = (8 raiz3 cos theta, 3 raiz3 sin theta cos^2 theta, 2 raiz3 sin theta) ao longo da curva :

Passo 9

A integral de linha é então:
ointC F cdot dr = integral0^2pi F(r(theta)) cdot drdtheta , dtheta
Calculando o produto escalar:
F cdot drdtheta = (8 raiz3 cos theta)(0) + (3 raiz3 sin theta cos^2 theta)(- raiz3 sin theta) + (2 raiz3 sin theta)(raiz3 cos theta)
Simplificando:
= 0 - 9 sin^2 theta cos^2 theta + 6 sin theta cos theta

Passo 10

Agora, a integral fica:
integral0^2pi (-9 sin^2 theta cos^2 theta + 6 sin theta cos theta) dtheta
Vamos resolver essa integral separando os termos:
-9 integral0^2pi sin^2 theta cos^2 theta , dtheta + 6 integral0^2pi sin theta cos theta , dtheta
A segunda integral, -9 cdot 14 integral0^2pi sin^2 2theta , dtheta = -94 cdot pi1 = -9pi4 , é zero devido à simetria do intervalo.
Para a primeira integral, usamos a identidade :

Resposta

O fluxo do rotacional do campo ao longo da superfície dada é .

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