Calcule o fluxo do rotacional do campo
ao longo da superfície
com
. Escolha a orientação de modo que o vetor
esteja no campo normal definido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial
ao longo de uma superfície definida pela equação
com
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo vetorial e o fluxo através de uma superfície. Vamos precisar entender o que é o rotacional, como calcular o fluxo e aplicar algum teorema que nos ajude a simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou “curl” em inglês, de um campo
é dado por:
Vamos calcular isso para o nosso campo
.
Passo 3
Calculando cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, queremos calcular o fluxo desse rotacional através da superfície
definida por
com
. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Para simplificar o cálculo do fluxo, podemos usar o teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície com a integral de linha do campo ao longo da borda da superfície:
Então, em vez de calcular diretamente o fluxo, podemos calcular a integral de linha ao longo da borda da superfície
.
Passo 6
Vamos identificar a borda
da superfície
. A superfície
com
é um hiperboloide de uma folha cortado entre
e
. A borda consiste em duas curvas:
- Quando
: , que é apenas o ponto . - Quando
: , que é um círculo no plano com raio .
Portanto,
é apenas o círculo no
, já que o ponto no
não contribui para a integral de linha.
Passo 7
Vamos parametrizar a curva
no
. Usamos coordenadas polares no plano
:
Então, a parametrização da curva é:
Derivando em relação a
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
ao longo da curva
:
Passo 9
A integral de linha é então:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 10
Agora, a integral fica:
Vamos resolver essa integral separando os termos:
A segunda integral,
, é zero devido à simetria do intervalo.
Para a primeira integral, usamos a identidade
:
Resposta
O fluxo do rotacional do campo
ao longo da superfície dada é
.