Calcule integralgamma F cdot d r onde
& F(x, y)=[(x^2+y^2+2 x) e^x-sen x] i+2 y e^x j & e gamma(t)=(t, sen t), t in[0, pi2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha integralgamma vec Fcdot dvec r, onde
vec F(x,y)=l[(x^2+y^2+2x)e^x-sin xr],vec i+2y e^x,vec j e
gamma(t)=(t,sin t), tin[0,pi/2]. O assunto é campo vetorial e integral de linha, e vamos aproveitar que se vec F for conservativo basta achar uma potencial f e usar o teorema fundamental.

Passo 2

Para ver se vec F é conservativo, escrevemos P(x,y)=(x^2+y^2+2x)e^x-sin x e Q(x,y)=2y e^x. Calculamos
partial P/partial y=2y e^x
e
partial Q/partial x=2y e^x.
Como são iguais em todo R^2, vec F é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial f(x,y) tal que fx=P e fy=Q. Integrando P em relação a x:
f(x,y)=integrall[(x^2+y^2+2x)e^x-sin xr]dx = e^x(x^2+y^2)+cos x + C(y)
Depois verificamos que a dependência extra C(y) é constante, pois a derivada disso em y já coincide com Q.

Passo 4

Pelo teorema fundamental de cálculo para campos conservativos:
integralgammavec Fcdot dvec r = fl(gamma(tfracpi2)r)-fl(gamma(0)r)
Calculando:


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Passo 5

final_answer

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