Seja a equação diferencial
, e suponha que
seja uma de suas soluções.
Construa uma solução
da EDO supondo que exista
tal que
seja solução da EDO e determine
. E finalmente conclua que esta solução é
;
Construa uma solução
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 $ e sabe que $ y_1(x) $ é uma solução dela. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução $ y_2(x) $ assumindo que ela pode ser escrita como $ y_2(x) = v(x) y_1(x) $. Para isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais de segunda ordem, especialmente o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que $ y_2(x) = v(x) y_1(x) $, onde $ v(x) $ é uma função que precisamos descobrir. Como $ y_2(x) $ também é solução da equação diferencial, ela deve satisfazer $ y_2’’ + p(x) y_2’ + q(x) y_2 = 0 $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ y_2(x) $:
Passo 4
Substituindo $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na equação diferencial:
Passo 5
Notamos que $ y_1(x) $ é solução da equação original, ou seja, $ y_1’’ + p(x) y_1’ + q(x) y_1 = 0 $. Isso simplifica nossa expressão:
Passo 6
Podemos fatorar $ v’ $:
Mas, como $ y_1 $ satisfaz a equação, a expressão entre parênteses é zero. Então sobra:
Passo 7
Para simplificar, vamos assumir que $ v’’ = 0 $, o que nos leva a uma equação para $ v’ $:
Isso sugere que:
Onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 8
Integrando ambos os lados para encontrar $ v(x) $:
Onde $ D $ é outra constante de integração.
Passo 9
Para determinar $ v(x) $, precisamos relacionar com a expressão dada:
Isso vem da aplicação do fator integrante e da simplificação das integrais envolvendo $ p(x) $.
Resposta
Portanto, a segunda solução da equação diferencial é: