Seja a equação diferencial y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0, e suponha que y(x) seja uma de suas soluções.
Construa uma solução y2(x) da EDO supondo que exista v(x) tal que y2(x)=v(x) y1(x) seja solução da EDO e determine v(x). E finalmente conclua que esta solução é y2(x)=y1(x) cdot integral e^-integral p(x) d x(y1(x))^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y’’ + p(x) y’ + q(x) y = 0 $ e sabe que $ y_1(x) $ é uma solução dela. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução $ y_2(x) $ assumindo que ela pode ser escrita como $ y_2(x) = v(x) y_1(x) $. Para isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais de segunda ordem, especialmente o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que $ y_2(x) = v(x) y_1(x) $, onde $ v(x) $ é uma função que precisamos descobrir. Como $ y_2(x) $ também é solução da equação diferencial, ela deve satisfazer $ y_2’’ + p(x) y_2’ + q(x) y_2 = 0 $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ y_2(x) $:
y2(x)
y2' = v' y1 + v y1'

Passo 4

Substituindo $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na equação diferencial:
y2

Passo 5

Notamos que $ y_1(x) $ é solução da equação original, ou seja, $ y_1’’ + p(x) y_1’ + q(x) y_1 = 0 $. Isso simplifica nossa expressão:
y1(x)

Passo 6

Podemos fatorar $ v’ $:
v'
Mas, como $ y_1 $ satisfaz a equação, a expressão entre parênteses é zero. Então sobra:
v' ( y1'' + p(x) y1') = 0

Passo 7

Para simplificar, vamos assumir que $ v’’ = 0 $, o que nos leva a uma equação para $ v’ $:
v'' = 0
Isso sugere que:
v'
Onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 8

Integrando ambos os lados para encontrar $ v(x) $:
v(x)
Onde $ D $ é outra constante de integração.

Passo 9

Para determinar $ v(x) $, precisamos relacionar com a expressão dada:
v(x)
Isso vem da aplicação do fator integrante e da simplificação das integrais envolvendo $ p(x) $.

Resposta

Portanto, a segunda solução da equação diferencial é:
y2(x) = y1(x) cdot integral e^-integral p(x) dx(y1(x))^2 dx

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