Considere o campo:
& F(x, y, z)=(z cos (x z)+y e^x y, x e^x y+y, x cos (x z)+e^2 z),(x, y, z) in R^3 & Mostre que F é conservativo e calcu<= integral(0,0,0)^(pi2, 2,1) F d r é

Passo 1

Temos o campo vetorial em R^3:
vec F(x,y,z)=l(zcos(xz)+y e^xy,;x e^xy+y,;xcos(xz)+e^2zr)
O objetivo é mostrar que ele é conservativo (isto é, nablatimesvec F=0 em domínio simplesmente conectado) e depois calcular a integral de linha entre os pontos (0,0,0) e (pi/2,2,1) usando uma função potencial phi(x,y,z).

Passo 2

Para verificar que vec F é conservativo, calculamos o rotacional e conferimos que todas as componentes são nulas. Primeiro:
partial F1partial y=partialpartial yl(zcos(xz)r)+partialpartial yl(y e^xyr)=0+e^xy+xy e^xy=e^xy(1+xy),
partial F2partial x=partialpartial xl(x e^xy+yr)=e^xy+xy e^xy=e^xy(1+xy),
de modo que partial F1/partial y=partial F2/partial x. Em seguida:
partial F1partial z=cos(xz)-xzsin(xz),
partial F3partial x=partialpartial xl(xcos(xz)r)=cos(xz)-xzsin(xz),
portanto partial F1/partial z=partial F3/partial x. Por fim:
partial F2partial z=0,
partial F3partial y=0,
logo nablatimesvec F=0. Como o domínio é simplesmente conectado, vec F é conservativo.

Passo 3

Agora buscamos phi(x,y,z) tal que nablaphi=vec F. Integramos a primeira componente em relação a x:
phi(x,y,z)=integrall(zcos(xz)+y e^xyr),dx=sin(xz)+e^xy+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar g(y,z), igualamos partialphi/partial y a F2:
partialphipartial y=0+ x e^xy+partial gpartial y=x e^xy+y
isto é,
partial gpartial y=y
e, integrando em y,
g(y,z)=y^22+h(z),
com h(z) a determinar.

Passo 5

Para achar h(z), igualamos partialphi/partial z a F3:
partialphipartial z=partialpartial zl(sin(xz)r)+0+0+h'(z)=xcos(xz)+h'(z)
deve ser igual a
F3=xcos(xz)+e^2z,
então h'(z)=e^2z e
h(z)=e^2z2+C
Escolhendo C=0 para simplificar, obtemos
phi(x,y,z)=sin(xz)+e^xy+y^22+e^2z2

Passo 6

Como vec F é conservativo, a integral de linha vale
integral(0,0,0)^(pi/2,2,1)vec Fcdot dvec r=phil(tfracpi2,2,1r)-phi(0,0,0)
Calculando:
phil(tfracpi2,2,1r)=sinl(tfracpi2cdot1r)+e^(pi/2)cdot2+2^22+e^22=1+e^pi+2+e^22=3+e^pi+e^22,
phi(0,0,0)=sin0+e^0+0+tfrace^02=tfrac32
Logo a integral é

Passo 7

final_answer

Resposta

e{\pi}+\tfrac{e{2}}{2}+\tfrac{3}{2}

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