Considere o campo:
Passo 1
Temos o campo vetorial em
:
O objetivo é mostrar que ele é conservativo (isto é,
em domínio simplesmente conectado) e depois calcular a integral de linha entre os pontos
e
usando uma função potencial
.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, calculamos o rotacional e conferimos que todas as componentes são nulas. Primeiro:
de modo que
. Em seguida:
portanto
. Por fim:
logo
. Como o domínio é simplesmente conectado,
é conservativo.
Passo 3
Agora buscamos
tal que
. Integramos a primeira componente em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para achar
, igualamos
a
:
isto é,
e, integrando em
,
com
a determinar.
Passo 5
Para achar
, igualamos
a
:
deve ser igual a
então
e
Escolhendo
para simplificar, obtemos
Passo 6
Como
é conservativo, a integral de linha vale
Calculando:
Logo a integral é
Passo 7
final_answer
Resposta
e{\pi}+\tfrac{e{2}}{2}+\tfrac{3}{2}