Calcule o fluxo do rotacional do campo F(x, y, z)=(x^2, y^2, e^z x^3) ao longo do cone x^2+y^2-z^2=0 com 1 <= z <= 4.

Passo 1

O exercício pede o fluxo de nablatimes F através da superfície cônica x^2+y^2=z^2 para 1<= z<=4. O tema é integral de superfície de um rotacional; vamos parametrizar o cone, calcular nablatimes F e montar integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o rotacional de F(x,y,z)=(x^2,y^2,e^z x^3). Temos
nablatimes F=l(partialpartial y(e^z x^3)-partialpartial z(y^2),;partialpartial z(x^2)-partialpartial x(e^z x^3),;partialpartial x(y^2)-partialpartial y(x^2)r)=(0,-3x^2e^z,0)

Passo 3

Parametrizamos o cone por
r(z,theta)=(x,y,z)=(zcostheta,;zsintheta,;z), 1<= z<=4,;0<=theta<=2pi

Passo 4

Calculamos os vetores tangentes e o elemento de área orientado para normal com componente z>0:
rtheta=(-zsintheta,;zcostheta,0), rz=(costheta,;sintheta,1),
d S=l( rztimes rthetar),dtheta,dz=(-zcostheta,;-zsintheta,;z),dtheta,dz

Passo 5

O produto escalar fica
(nablatimes F)cdot d S=(0,-3x^2e^z,0)cdot(-zcostheta,-zsintheta,z) =3x^2e^zzsintheta

Passo 6

Como x=zcostheta, isso vira
3(zcostheta)^2e^zzsintheta=3z^3e^zcos^2thetasintheta

Passo 7

Logo o fluxo é
integralz=1^4integral0^2pi3z^3e^zcos^2thetasintheta,dtheta,dz

Passo 8

Mas integral0^2picos^2thetasintheta,dtheta=0 (é integral de função periódica ímpar em torno de um período). Portanto todo o integral anula e o fluxo é zero.

Resposta

0

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