Calcule o fluxo do rotacional do campo F(x, y, z)=(-z, x^2,-y^3) ao longo do elipsóide x^24+ y^24+z^29=1. Faça agora ao longo da metade superior do elipsóide.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de nablatimes F através da superfície elipsoidal x^24+y^24+z^29=1, e depois ao longo da metade superior ( z>=0) dessa elipsóide. Vamos usar duas ferramentas: o Teorema da Divergência (para superfícies fechadas) e o Teorema de Stokes (para superfície aberta com borda).

Passo 2

Para a elipsóide completa (fechada), aplicamos o Teorema da Divergência a A=nablatimes F:
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS=integral triplaVnablacdot(nablatimes F),dV
Como em cálculo vetorial vale sempre nablacdot(nablatimes F)=0, o fluxo sobre a superfície fechada é zero.

Passo 3

Na metade superior a superfície não é mais fechada, então não vale diretamente o Teorema da Divergência. Em vez disso, usamos o Teorema de Stokes que diz:
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS=ointpartial SFcdot dr,
onde partial S é o contorno da metade superior, que é a elipse na reta z=0:
x=2cos t, y=2sin t, z=0, tin[0,2pi]

Passo 4

Calculamos F na curva: em z=0,
F=( -0,;x^2,;-y^3 )=(0,4cos^2 t,-8sin^3 t)
E o vetor tangente é
dr=(-2sin t,;2cos t,;0),dt
O produto escalar é
Fcdot dr=0cdot(-2sin t)+4cos^2 tcdot(2cos t)+(-8sin^3 t)cdot0=8cos^3 t,dt
Assim a integral de linha é
integral0^2pi8cos^3 t,dt=0
(pois a função cos^3 t tem média zero em um período).

Passo 5

Portanto, tanto no caso da elipsóide completa quanto na metade superior, o fluxo de nablatimes F é zero.

Resposta

Fluxo sobre a elipsóide completa = 0; fluxo sobre a metade superior = 0.

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