Calcule o fluxo do rotacional do campo
ao longo do elipsóide
. Faça agora ao longo da metade superior do elipsóide.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície elipsoidal
, e depois ao longo da metade superior (
) dessa elipsóide. Vamos usar duas ferramentas: o Teorema da Divergência (para superfícies fechadas) e o Teorema de Stokes (para superfície aberta com borda).
Passo 2
Para a elipsóide completa (fechada), aplicamos o Teorema da Divergência a
:
Como em cálculo vetorial vale sempre
, o fluxo sobre a superfície fechada é zero.
Passo 3
Na metade superior a superfície não é mais fechada, então não vale diretamente o Teorema da Divergência. Em vez disso, usamos o Teorema de Stokes que diz:
onde
é o contorno da metade superior, que é a elipse na reta
:
Passo 4
Calculamos
na curva: em
,
E o vetor tangente é
O produto escalar é
Assim a integral de linha é
(pois a função
tem média zero em um período).
Passo 5
Portanto, tanto no caso da elipsóide completa quanto na metade superior, o fluxo de
é zero.
Resposta
Fluxo sobre a elipsóide completa = 0; fluxo sobre a metade superior = 0.