Calcule a força necessária para segurar um bocal convergente fixo a uma mangueira de incêndio na horizontal que descarrega 800 \mathrm{l} / \mathrm{min} de água. Sabe-se que o diâmetro interno da mangueira é 10 cm , enquanto do bocal é 3 cm .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma mangueira horizontal de diâmetro interno d_1=0{,}10\:\mathrm{m} conectada a um bocal convergente de diâmetro d_2=0{,}03\:\mathrm{m}. A vazão de água é 800\:\mathrm{L/min} e queremos a força que o jato exerce no bocal para mantê-lo parado. O conteúdo principal é o teorema do impulso (ou momentum) em mecânica dos fluidos, que leva em conta a variação de quantidade de movimento da água no controle de volume.

Passo 2

Converter a vazão volumétrica para unidades do SI.
Q = 800\:\mathrm{L/min} = 800\times10^{-3}\:\mathrm{m^3/min} = \frac{0{,}800}{60}\:\mathrm{m^3/s} =0{,}01333\:\mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Calcular as áreas das seções transversal na mangueira e no bocal:
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}10)^2}{4} \approx7{,}854\times10^{-3}\:\mathrm{m^2},
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (0{,}03)^2}{4} \approx7{,}069\times10^{-4}\:\mathrm{m^2}.

Passo 4

Determinar as velocidades média em cada seção usando v=Q/A:
v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0{,}01333}{7{,}854\times10^{-3}} \approx1{,}70\:\mathrm{m/s},
v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0{,}01333}{7{,}069\times10^{-4}} \approx18{,}9\:\mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a vazão mássica \dot m da água (densidade \rho=1000\:\mathrm{kg/m^3}):
\dot m = \rho\,Q = 1000\cdot0{,}01333 = 13{,}33\:\mathrm{kg/s}.

Passo 6

Aplicar o teorema do impulso: a força de reação no bocal é
F = \dot m\,(v_2 - v_1) = 13{,}33\,(18{,}9 - 1{,}70) \approx13{,}33\times17{,}2 \approx229\:\mathrm{N}.

Resposta

A força necessária para segurar o bocal é aproximadamente 229\:\mathrm{N}.

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