A vazão através de um reator é de 10 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{min}. Um teste com um pulso gerou as seguintes medidas de concentração na saída:
t (min) C \times 10^{5} ( \mathrm{g} / 10^{-2} \mathrm{ml} ) t (min) C \times 10^{5} ( \mathrm{g} / 10^{-2} \mathrm{ml} )
0 0 15 238
0,4 329 20 136
1 622 25 77
2 812 30 44
3 831 35 25
4 785 40 14
5 720 45 8
6 650 50 5
8 523 60 1
10 418
a) Construa um gráfico de \mathrm{E}(\mathrm{t}) em função do tempo.
b) Qual o tempo de residência médio? Resp.: 9,86 \mathrm{~min}.
c) Que fração de material permanece no reator entre 2 e 4 minutos? Resp.: 16%
d) Que fração do material permanece no reator mais de 6 minutos? Resp.: 59%.
e) Que fração do material permanece no reator menos de 3 minutos? Resp.: 19%
f) Qual o volume do reator? Resp.: 98,6 \mathrm{dm}^{3}.

Passo 1

Temos um teste de pulso num reator com vazão de 10\;\mathrm{dm^3/min}. As medidas de concentração na saída, C(t), em função do tempo são dadas na tabela. Queremos obter a distribuição de idades de saída
E(t)\;=\;\frac{C(t)}{\displaystyle\int_{0}^{\infty}C(\tau)\,d\tau}
e, a partir dela, calcular
  • o gráfico de E(t) vs.\ t,
  • o tempo médio de residência \tau,
  • as frações de material que saem entre 2 e 4 min, > 6 min e < 3 min,
  • e o volume do reator V=Q\,\tau.
    Para isso vamos aproximar as integrais por regra dos trapézios.

Passo 2

Calcular a área total
A \;=\;\int_{0}^{\infty} C(t)\,dt
pela soma dos trapézios entre os pontos fornecidos. Para cada intervalo [t_i,t_{i+1}] com largura \Delta t temos
\Delta A_i = \frac{C(t_i)+C(t_{i+1})}{2}\,\Delta t.
Aplicando a conta a todos os intervalos desde t=0 até t=60 min, obtemos
A \approx 10046{,}6\quad(\text{mesmas unidades de }C\cdot\text{min}).

Passo 3

Para cada ponto (t_i,C_i) calculamos
E(t_i) =\frac{C_i}{A}.
Alguns valores arredondados são:
\begin{array}{c|c} t_i\;(\mathrm{min}) & E(t_i) \\\ \hline 0{,}4 & 0{,}0328\\\\ 1 & 0{,}0620\\\\ 2 & 0{,}0808\\\\ 3 & 0{,}0828\\\\ 4 & 0{,}0782\\\\ 5 & 0{,}0717\\\\ 6 & 0{,}0647\\\\ 8 & 0{,}0520\\\\ 10 & 0{,}0416\\\\ 15 & 0{,}0237\\\\ 20 & 0{,}0135\\\\ 25 & 0{,}0077\\\\ 30 & 0{,}0044\\\\ 35 & 0{,}0025\\\\ 40 & 0{,}0014\\\\ 45 & 0{,}0008\\\\ 50 & 0{,}0005\\\\ 60 & 0{,}0001 \end{array}

Passo 4

O gráfico de E(t) vs.\ t é obtido plotando cada ponto \bigl(t_i,E(t_i)\bigr) e unindo-os suavemente. Esse é o traçado da função densidade de tempos de residência.

Passo 5

O tempo médio de residência é
\tau =\int_{0}^{\infty} t\,E(t)\,dt =\frac{\displaystyle\int_{0}^{\infty}t\,C(t)\,dt}{A}.
A integral \int t\,C(t)\,dt também se faz por trapézios e dá aproximadamente 9{,}9093\times10^4. Logo
\tau\approx\frac{9{,}9093\times10^4}{1{,}00466\times10^4} \approx9{,}86\;\mathrm{min}.

Passo 6

As frações pedidas são áreas parciais de E(t):
  • Entre 2 e 4 min: \frac{\displaystyle\int_{2}^{4}C(t)\,dt}{A} =\frac{821{,}5+808}{10046{,}6} \approx0{,}1623\;(16{,}2\%\approx16\%).
  • Para t>6 min soma-se a área dos intervalos de 6 a 60 min, dando \approx\frac{5911{,}5}{10046{,}6}\approx0{,}5887\;(58{,}9\%\approx59\%).
  • Para t<3 min soma-se de 0 a 3 min, dando \approx\frac{1889{,}6}{10046{,}6}\approx0{,}1882\;(18{,}8\%\approx19\%).

Passo 7

O volume do reator é
V = Q\,\tau = 10\;\mathrm{dm^3/min}\times9{,}86\;\mathrm{min} =98{,}6\;\mathrm{dm^3}.

Resposta

a) Gráfico de E(t) vs.\ t com os pontos calculados.
b) \tau=9{,}86\;\mathrm{min}.
c) Fração entre 2 e 4 min: 16\%.
d) Fração para t>6 min: 59\%.
e) Fração para t<3 min: 19\%.
f) Volume do reator: 98{,}6\;\mathrm{dm^3}.

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