3 (a) Calcule a força por unidade de comprimento exercida por um fio muito longo e fino, que conduz corrente I_{1}=1,29 \mathrm{~A}, em um fio paralelo ao primeiro, que conduz corrente I_{2}=1,00 \mathrm{~A}, no mesmo sentido de I_{1}. Os fios estão separados por uma distância d=0,688 \mathrm{~m}.
(b) Se invertermos o sentido da corrente I_{1}, o que acontece com o módulo e o sentido da força calculada no item a)? E se invertermos ambos os sentidos das correntes I_{1} e I_{2}, o que acontece? Justifique.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • I_{1}=1,29\\ \mathrm{A}.
  • I_{2}=1,00\\ \mathrm{A}.
  • d=0,688\\ \mathrm{m}.
    O que o enunciado pede:
  • (a) Calcular a força por unidade de comprimento exercida pelo fio que carrega I_{1} sobre o fio paralelo que carrega I_{2}, quando as correntes têm o mesmo sentido.
  • (b) Explicar o que acontece com o módulo e com o sentido da força se invertermos apenas I_{1}, e o que acontece se invertermos ambas I_{1} e I_{2}.

Passo 2

Fórmula para o campo magnético produzido por um fio longo e retilíneo: o campo magnético a uma distância r de um fio muito longo que conduz corrente I vale
B=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}.
Explicação das grandezas:
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, valendo \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{N/A^{2}}.
  • I é a corrente no fio que produz o campo.
  • r é a distância perpendicular do fio até o ponto onde se calcula B.
Aplicando ao nosso caso: o campo produzido por I_{1} no local do fio que tem I_{2} está a r=d, então
B_{1\\ \text{em}\\\ 2}=\frac{\mu_{0} I_{1}}{2\pi d}.
Agora substituímos os números passo a passo. Primeiro simplificamos o fator \dfrac{\mu_{0}}{2\pi}:
\frac{\mu_{0}}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}.
Portanto
B_{1\\ \text{em}\\\ 2}= \frac{2\times10^{-7}\,I_{1}}{d}.
Agora plugamos I_{1}=1,29 e d=0,688:
B_{1\\ \text{em}\\\ 2}= \frac{2\times10^{-7}\times1,29}{0,688}.
Calculemos: 2\times10^{-7}\times1,29=2,58\times10^{-7}. Dividindo por 0,688:
B_{1\\ \text{em}\\\ 2}= \frac{2,58\times10^{-7}}{0,688}=3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 3

Força sobre um fio portador de corrente em um campo magnético: a força sobre um segmento de fio de comprimento L que transporta corrente I imerso em campo B é dada por
\vec{F}=I\,\vec{L}\times\vec{B},
e o módulo é
F=I\,L\,B\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre o sentido do fio (vetor \vec{L}) e \vec{B}.
No caso de dois fios paralelos, o campo B_{1\\ \text{em}\\\ 2} é azimutal (circunda o fio 1) e é perpendicular ao fio 2. Logo \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Assim a força por unidade de comprimento (isto é f/L) sobre o fio 2 é
\frac{F}{L}=I_{2}\,B_{1\\ \text{em}\\\ 2}.
Substituindo o valor de B_{1\\ \text{em}\\\ 2} obtemos a forma útil
\frac{F}{L}=\frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2\pi d}.
Agora fazemos a conta numérica: usando a simplificação anterior \dfrac{\mu_{0}}{2\pi}=2\times10^{-7},
\frac{F}{L}=\frac{2\times10^{-7}\times I_{1}\times I_{2}}{d}.
Com I_{1}=1,29, I_{2}=1,00 e d=0,688:
\frac{F}{L}=\frac{2\times10^{-7}\times1,29\times1,00}{0,688}=\frac{2,58\times10^{-7}}{0,688}=3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{N/m}.
Interpretação do sentido: quando as correntes têm o mesmo sentido, a força entre fios paralelos é atrativa — cada fio é puxado na direção do outro. Isso pode ser visto com a regra da mão direita: o campo produzido por um fio faz com que a força sobre o outro aponte para o fio emissor se as correntes forem no mesmo sentido.

Passo 4

Agora o item (b), raciocinando com a fórmula:
\frac{F}{L}=\frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2\pi d}.
Note que o sinal (sentido) da força depende do sinal do produto I_{1}I_{2} (ou, mais fisicamente, do sentido relativo das correntes). O módulo da força depende de |I_{1}I_{2}|.
  • Se invertermos apenas I_{1}: então o produto I_{1}I_{2} muda de sinal. O módulo da força permanece \,3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{N/m}\, (pois |I_{1}| e |I_{2}| não mudaram), mas o sentido inverte — a interação passa de atrativa para repulsiva (os fios se repelem). Justificação física: inverter I_{1} inverte a direção do campo B_{1} no local do fio 2; como \vec{F}=I_{2}\vec{L}\times\vec{B}_{1}, isso inverte \vec{F}.
  • Se invertermos ambos I_{1} e I_{2}: o produto I_{1}I_{2} mantém o mesmo sinal (porque dois sinais negativos multiplicam e dão positivo). Assim o módulo continua 3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{N/m} e o sentido da força permanece o mesmo do caso original (se as correntes estavam no mesmo sentido originalmente, continuarão tendo sentido relativo igual — portanto continuam se atraindo). Em resumo: inverter ambas as correntes não altera a força entre os fios.

Resposta

(a) \dfrac{F}{L}=3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{N/m}, atração (os fios se puxam).\n(b1) Se inverter apenas I_{1}: o módulo fica 3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{N/m}, o sentido inverte (repulsão).\n(b2) Se inverter ambos I_{1} e I_{2}: o módulo fica 3,75\times10^{-7}\\ \mathrm{N/m} e o sentido permanece o mesmo do caso original (atração).

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