Problema 4 Duas ondas senoidais idênticas, exceto pela fase, se propagam no mesmo sentido ao longo de uma corda e sofrem interferência para produzirem uma onda resultante dada por
com
em metros e
em segundos. (a) Essa onda está se propagando ao longo de qual eixo? Justifique. Calcule: (b) o comprimento de onda
das duas ondas, (c) a diferença de fase entre elas, (d) a amplitude
delas e (e) a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto
para
. Os resultados devem estar no Sistema Internacional de unidades. (20 pontos)
Passo 1
Vou separar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado (peguei estes números do enunciado):
onde
está em metros e
em segundos.
Das expressões acima eu extraio imediatamente:
O enunciado pede:
(a) ao longo de qual eixo (direção) a onda está se propagando e justificativa;
(b) o comprimento de onda das duas ondas;
(c) a diferença de fase entre as duas ondas que se somaram;
(d) a amplitude de cada uma das ondas (elas são idênticas em amplitude);
(e) a velocidade transversal (velocidade vertical) de uma partícula da corda no ponto e
.
(a) ao longo de qual eixo (direção) a onda está se propagando e justificativa;
(b) o comprimento de onda
(c) a diferença de fase entre as duas ondas que se somaram;
(d) a amplitude
(e) a velocidade transversal (velocidade vertical) de uma partícula da corda no ponto
Passo 2
Decidir o sentido de propagação da onda.
Regra prática e justificativa: uma onda de forma
representa uma onda que se desloca no sentido positivo do eixo
. Para ver isso analiticamente, mantenha a fase
constante e derive:
Como aqui
, a posição de uma crista se desloca para
.
Cálculo numérico de verificação:
Conclusão: a onda resultante se propaga ao longo do eixo
, no sentido positivo (direção +x).
Passo 3
Calcular o comprimento de onda
.
Fórmula: a relação entre número de onda
e comprimento de onda
é
Substituindo
:
Arredondando adequadamente:
Passo 4
Relacionar a soma de duas ondas idênticas (exceto pela fase) com a onda resultante e escrever as equações usadas.
Se duas ondas idênticas em amplitude e forma são
sua soma é (identidade trigonométrica
):
Portanto a amplitude resultante e a fase resultante são:
onde
é a diferença de fase entre as duas ondas.
Passo 5
Escolha de referência de fase e determinação da diferença de fase
.
Observação importante (padrão de física de ondas): as fases absolutas
e
podem ser deslocadas por uma constante sem alterar a física; apenas a diferença
é physicalmente relevante. É comum escolher uma onda como referência definindo sua fase igual a zero. Vou adotar essa escolha para obter valores numéricos únicos: tomo
. Então, da relação da fase resultante:
logo
Assim a diferença de fase entre elas é
(Se preferir em graus:
.)
Passo 6
Calcular a amplitude
de cada uma das ondas usando
.
Como
, temos:
Substituindo
e
:
Em unidades mais intuítivas:
.
Passo 7
Calcular a velocidade transversal (derivada temporal do deslocamento) da partícula da corda no ponto pedido
usando a onda resultante dada.
A velocidade transversal é
Substituindo os números:
Logo
Cálculo numérico:
O sinal negativo indica que, naquele instante, a partícula está se movendo no sentido negativo do eixo vertical (para baixo).
Resposta
(a) A onda propaga-se ao longo do eixo
, no sentido
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.