Problema 4 Duas ondas senoidais idênticas, exceto pela fase, se propagam no mesmo sentido ao longo de uma corda e sofrem interferência para produzirem uma onda resultante dada por
y(x, t)=3,0(\mathrm{~mm}) \sin [20 x-4,0 t+0,82(\mathrm{rad})]
com x em metros e t em segundos. (a) Essa onda está se propagando ao longo de qual eixo? Justifique. Calcule: (b) o comprimento de onda \lambda das duas ondas, (c) a diferença de fase entre elas, (d) a amplitude y_{m} delas e (e) a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x=0,2 \mathrm{~m} para t=1 \mathrm{~s}. Os resultados devem estar no Sistema Internacional de unidades. (20 pontos)

Passo 1

Vou separar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dado (peguei estes números do enunciado):
y(x,t)=3{,}0\\ \text{mm}\,\sin\bigl[20\,x-4{,}0\,t+0{,}82\\ \text{(rad)}\bigr],
onde x está em metros e t em segundos.
Das expressões acima eu extraio imediatamente:
A_{\text{res}}=3{,}0\\ \text{mm}=3{,}0\times10^{-3}\\ \text{m},
k=20\\ \text{rad/m},\qquad \omega=4{,}0\\ \text{rad/s},\qquad \varphi_{\text{res}}=0{,}82\\ \text{rad}.
O enunciado pede:
(a) ao longo de qual eixo (direção) a onda está se propagando e justificativa;
(b) o comprimento de onda \lambda das duas ondas;
(c) a diferença de fase entre as duas ondas que se somaram;
(d) a amplitude y_m de cada uma das ondas (elas são idênticas em amplitude);
(e) a velocidade transversal (velocidade vertical) de uma partícula da corda no ponto x=0{,}2\\ \text{m} e t=1\\ \text{s}.

Passo 2

Decidir o sentido de propagação da onda.
Regra prática e justificativa: uma onda de forma \sin(kx-\omega t+\varphi) representa uma onda que se desloca no sentido positivo do eixo x. Para ver isso analiticamente, mantenha a fase \theta=kx-\omega t+\varphi constante e derive:
\theta=\text{const}\quad\Rightarrow\quad k\frac{dx}{dt}-\omega=0\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}.
Como aqui \omega/k>0, a posição de uma crista se desloca para +x.
Cálculo numérico de verificação:
\frac{\omega}{k}=\frac{4{,}0}{20}=0{,}20\\ \text{m/s}>0.
Conclusão: a onda resultante se propaga ao longo do eixo x, no sentido positivo (direção +x).

Passo 3

Calcular o comprimento de onda \lambda.
Fórmula: a relação entre número de onda k e comprimento de onda \lambda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=20\\ \text{rad/m}:
\lambda=\frac{2\pi}{20}=\frac{\pi}{10}\\ \text{m}\approx0{,}314159\\ \text{m}.
Arredondando adequadamente:
\lambda\approx0{,}314\\ \text{m}.

Passo 4

Relacionar a soma de duas ondas idênticas (exceto pela fase) com a onda resultante e escrever as equações usadas.
Se duas ondas idênticas em amplitude e forma são
y_1=y_m\sin\bigl(kx-\omega t+\alpha\bigr),\qquad y_2=y_m\sin\bigl(kx-\omega t+\beta\bigr),
sua soma é (identidade trigonométrica \sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}):
y=y_1+y_2=2y_m\cos\!\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)\sin\!\left(kx-\omega t+\frac{\alpha+\beta}{2}\right).
Portanto a amplitude resultante e a fase resultante são:
A_{\text{res}}=2y_m\cos\!\left(\frac{\Delta\varphi}{2}\right), \qquad \varphi_{\text{res}}=\frac{\alpha+\beta}{2},
onde \Delta\varphi=\beta-\alpha é a diferença de fase entre as duas ondas.

Passo 5

Escolha de referência de fase e determinação da diferença de fase \Delta\varphi.
Observação importante (padrão de física de ondas): as fases absolutas \alpha e \beta podem ser deslocadas por uma constante sem alterar a física; apenas a diferença \Delta\varphi é physicalmente relevante. É comum escolher uma onda como referência definindo sua fase igual a zero. Vou adotar essa escolha para obter valores numéricos únicos: tomo \alpha=0. Então, da relação da fase resultante:
\varphi_{\text{res}}=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{0+\beta}{2}=\frac{\beta}{2}
logo
\beta=2\varphi_{\text{res}}.
Assim a diferença de fase entre elas é
\Delta\varphi=\beta-\alpha=\beta-0=2\varphi_{\text{res}}=2\times0{,}82=1{,}64\\ \text{rad}.
(Se preferir em graus: 1{,}64\\ \text{rad}\approx94{,}0^\circ.)

Passo 6

Calcular a amplitude y_m de cada uma das ondas usando A_{\text{res}}=2y_m\cos(\Delta\varphi/2).
Como \Delta\varphi/2=\varphi_{\text{res}}=0{,}82\\ \text{rad}, temos:
y_m=\frac{A_{\text{res}}}{2\cos(\varphi_{\text{res}})}.
Substituindo A_{\text{res}}=3{,}0\times10^{-3}\\ \text{m} e \cos(0{,}82):
\cos(0{,}82)\approx0{,}68163876,
y_m=\frac{3{,}0\times10^{-3}}{2\times0{,}68163876}\approx2{,}20\times10^{-3}\\ \text{m}.
Em unidades mais intuítivas: y_m\approx2{,}20\\ \text{mm}.

Passo 7

Calcular a velocidade transversal (derivada temporal do deslocamento) da partícula da corda no ponto pedido (x=0{,}2\\ \text{m},\\ t=1\\ \text{s}) usando a onda resultante dada.
A velocidade transversal é
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=A_{\text{res}}\cos\bigl(kx-\omega t+\varphi_{\text{res}}\bigr)\cdot(-\omega).
Substituindo os números:
kx-\omega t+\varphi_{\text{res}}=20\cdot0{,}2-4{,}0\cdot1+0{,}82=4{,}0-4{,}0+0{,}82=0{,}82\\ \text{rad}.
Logo
v_y(0{,}2,1)=-A_{\text{res}}\omega\cos(0{,}82)=-3{,}0\times10^{-3}\times4{,}0\times0{,}68163876.
Cálculo numérico:
v_y(0{,}2,1)\approx -0{,}012\times0{,}68163876\approx -8{,}18\times10^{-3}\\ \text{m/s}.
O sinal negativo indica que, naquele instante, a partícula está se movendo no sentido negativo do eixo vertical (para baixo).

Resposta

(a) A onda propaga-se ao longo do eixo x, no sentido +x.
(b) \lambda\approx0{,}314\\ \text{m}.
(c) \Delta\varphi\approx1{,}64\\ \text{rad}.
(d) y_m\approx2{,}20\times10^{-3}\\ \text{m}.
(e) v_y(0{,}2,1)\approx-8{,}18\times10^{-3}\\ \text{m/s}.

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