Calcule a forma quadrática boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}, em que A= \left[\begin{array}{rr}5 & 1 / 3 \\\\ 1 / 3 & 1\end{array}\right] e:
boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a forma quadrática \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}. As informações dadas são:
A=\left[\begin{array}{rr}5 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] \tfrac{1}{3} & 1\end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}1 \\[4pt] 3\end{array}\right].
Objetivo: encontrar o valor numérico de \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}.]

Passo 2

Definição e estratégia: a forma quadrática associada a uma matriz A e vetor \boldsymbol{x} é o número
q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}.
Uma maneira prática de calcular é primeiro fazer o produto matricial A\boldsymbol{x} (resultado é um vetor) e depois calcular o produto escalar \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) (resultado é um escalar). Vamos seguir essa rota passo a passo.

Passo 3

Calcular A\boldsymbol{x}. Escrevendo o produto:
A\boldsymbol{x}= \left[\begin{array}{rr}5 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] \tfrac{1}{3} & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\[4pt] 3\end{array}\right].
O primeiro componente do vetor A\boldsymbol{x} é
5\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 3 = 5 + 1 = 6.
O segundo componente é
\tfrac{1}{3}\cdot 1 + 1\cdot 3 = \tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1+9}{3} = \tfrac{10}{3}.
Logo
A\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}6 \\[4pt] \tfrac{10}{3}\end{array}\right].]

Passo 4

Calcular \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) como produto escalar:
\boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) = \left[\begin{array}{cc}1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}6 \\[4pt] \tfrac{10}{3}\end{array}\right] = 1\cdot 6 + 3\cdot \tfrac{10}{3}.
Agora efetuamos as multiplicações e somas:
1\cdot 6 = 6,\qquad 3\cdot \tfrac{10}{3} = \tfrac{30}{3} = 10,
portanto
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=6+10=16.]

Passo 5

Verificação alternativa (útil na prova): expandindo pela fórmula \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=\sum_{i,j} x_i a_{ij} x_j e usando que A é simétrica, podemos escrever
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=5\cdot 1^{2} + 2\cdot \tfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 3 + 1\cdot 3^{2}.
Calculando cada termo:
5\cdot 1^{2}=5,\qquad 2\cdot \tfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 3=2\cdot 1=2,\qquad 1\cdot 3^{2}=9,
e somando 5+2+9=16, confirmando o resultado.

Resposta

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