Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o número complexo
Informações dadas:
- O numerador é o número complexo
. - O denominador é o número complexo
.
A pergunta é: qual o valor (número complexo) de?
Passo 2
Primeiro, lembre o que significa uma expressão do tipo
. Para qualquer ângulo
:
- O módulo (ou norma) do número complexo
é
ou seja, esses números têm módulo
.
- O argumento (ângulo) desse número é precisamente
.
Então tanto o numerador quanto o denominador têm módulo
e argumentos
e
, respectivamente.
Passo 3
Uma ferramenta muito útil é a fórmula de Euler:
Usando essa fórmula podemos reescrever os dois complexos como exponenciais:
Passo 4
Usando as propriedades de potência/exponencial, a divisão de exponenciais satisfaz
Aplicando isso ao nosso
:
Simplificando o ângulo:
portanto
Passo 5
Agora avaliamos os senos e cossenos conhecidos:
logo
Observação didática extra (sem usar Euler): multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador obtém-se diretamente a identidade
e aplicando
,
chega-se ao mesmo resultado
. Isso confirma a abordagem anterior.