Calcule:
z=\frac{\cos \frac{7 \pi}{10}+i \operatorname{sen} \frac{7 \pi}{10}}{\cos \frac{2 \pi}{10}+i \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{10}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número complexo
z=\frac{\cos\frac{7\pi}{10}+i\sin\frac{7\pi}{10}}{\cos\frac{2\pi}{10}+i\sin\frac{2\pi}{10}}.
Informações dadas:
  • O numerador é o número complexo \cos\frac{7\pi}{10}+i\sin\frac{7\pi}{10}.
  • O denominador é o número complexo \cos\frac{2\pi}{10}+i\sin\frac{2\pi}{10}.
    A pergunta é: qual o valor (número complexo) de z?

Passo 2

Primeiro, lembre o que significa uma expressão do tipo \cos\theta+i\sin\theta. Para qualquer ângulo \theta:
  • O módulo (ou norma) do número complexo \cos\theta+i\sin\theta é
\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\sqrt{1}=1,
ou seja, esses números têm módulo 1.
  • O argumento (ângulo) desse número é precisamente \theta.
Então tanto o numerador quanto o denominador têm módulo 1 e argumentos \tfrac{7\pi}{10} e \tfrac{2\pi}{10}, respectivamente.

Passo 3

Uma ferramenta muito útil é a fórmula de Euler:
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Usando essa fórmula podemos reescrever os dois complexos como exponenciais:
\cos\frac{7\pi}{10}+i\sin\frac{7\pi}{10}=e^{i\frac{7\pi}{10}},\qquad \cos\frac{2\pi}{10}+i\sin\frac{2\pi}{10}=e^{i\frac{2\pi}{10}}.

Passo 4

Usando as propriedades de potência/exponencial, a divisão de exponenciais satisfaz
\frac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}}=e^{i(\theta_1-\theta_2)}.
Aplicando isso ao nosso z:
z=\frac{e^{i\frac{7\pi}{10}}}{e^{i\frac{2\pi}{10}}}=e^{i\left(\frac{7\pi}{10}-\frac{2\pi}{10}\right)}=e^{i\frac{5\pi}{10}}.
Simplificando o ângulo:
\frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2},
portanto
z=e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Agora avaliamos os senos e cossenos conhecidos:
\cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1,
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z=0+i\cdot 1=i.
Observação didática extra (sem usar Euler): multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador obtém-se diretamente a identidade
\frac{\cos a+i\sin a}{\cos b+i\sin b}=\cos(a-b)+i\sin(a-b),
e aplicando a=\tfrac{7\pi}{10}, b=\tfrac{2\pi}{10} chega-se ao mesmo resultado \cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i. Isso confirma a abordagem anterior.

Resposta

i

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