Efetue:
i^{401}-i^{273}+(2 i)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
i^{401}-i^{273}+(2i)^{3}.
Informações dadas:
  • i é a unidade imaginária, com i^{2}=-1.
  • Pedem o valor numérico da combinação acima.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental das potências de i: as potências de i repetem em ciclo de período 4. Ou seja,
i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1,
e então o padrão se repete: i^{4k+1}=i, i^{4k+2}=-1, i^{4k+3}=-i, i^{4k}=1 para qualquer inteiro k.
Isso significa que, para calcular i^{n}, basta reduzir n módulo 4 e usar uma das quatro possibilidades acima.

Passo 3

Aplicando a redução módulo 4 aos expoentes:
401 = 4\cdot 100 + 1,
portanto 401 \equiv 1 \pmod{4} e
i^{401}=i.
273 = 4\cdot 68 + 1,
portanto 273 \equiv 1 \pmod{4} e
i^{273}=i.

Passo 4

Agora calculamos (2i)^{3}. Primeiro fatoramos a potência:
(2i)^{3}=2^{3}\,i^{3}=8\,i^{3}.
Usando i^{3}=-i (pela tabela do ciclo),
8\,i^{3}=8\cdot(-i)=-8i.

Passo 5

Juntando tudo na expressão original:
i^{401}-i^{273}+(2i)^{3}=i - i + (-8i).
Calculando passo a passo:
i - i = 0,
então
0 + (-8i) = -8i.

Resposta

-8i

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