O ponto \left(\frac{2}{3}, 5\right) está a uma distância de \frac{\sqrt{229}}{3} unidades do ponto médio do segmento que une \left(5,-\frac{2}{3}\right) e \left(x, \frac{2}{3}\right). Podemos afirmar então que o valor de x é:
Escolha uma opção:
◯ a. \quad x=-10 ou x=\frac{1}{6}
◯ b. x=-5 ou x=-\frac{7}{3}
◯ c. x=\left(\frac{19}{3}-4 \sqrt{\frac{5}{3}}\right)
◯ d. x=\left(-\frac{11}{3}-4 \sqrt{\frac{5}{3}}\right)
◯ e. x=5 ou x=\frac{38}{3}

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano e uma condição de distância. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Ponto dado: \left(\dfrac{2}{3},5\right).
  • Extremidades do segmento: A=\left(5,-\dfrac{2}{3}\right) e B=\left(x,\dfrac{2}{3}\right).
  • O ponto dado está a uma distância de \dfrac{\sqrt{229}}{3} unidades do ponto médio do segmento AB.
    O que o problema pede: determinar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa condição e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o ponto médio M do segmento que liga A a B. A fórmula do ponto médio entre \left(x_1,y_1\right) e \left(x_2,y_2\right) é
\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right).
Aplicando a A e B:
M=\left(\dfrac{5+x}{2},\dfrac{-\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3}}{2}\right).
Como -\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}=0, segue que
M=\left(\dfrac{5+x}{2},0\right).

Passo 3

Agora uso a fórmula da distância entre dois pontos \left(x_1,y_1\right) e \left(x_2,y_2\right):
\text{dist}=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}.
No nosso caso, a distância entre P=\left(\dfrac{2}{3},5\right) e M=\left(\dfrac{5+x}{2},0\right) deve ser \dfrac{\sqrt{229}}{3}. Escrevendo essa igualdade:
\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{5+x}{2}\right)^2+\left(5-0\right)^2}=\dfrac{\sqrt{229}}{3}.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Primeiro o termo horizontal:
\dfrac{2}{3}-\dfrac{5+x}{2}=\dfrac{4}{6}-\dfrac{3(5+x)}{6}=\dfrac{4-15-3x}{6}=\dfrac{-(11+3x)}{6}.
Então o quadrado desse termo é
\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{5+x}{2}\right)^2=\dfrac{(11+3x)^2}{36}.
O termo vertical é \left(5-0\right)^2=25. Assim a expressão sob a raiz é
\dfrac{(11+3x)^2}{36}+25.

Passo 5

Igualando ao quadrado do lado direito (para eliminar a raiz), obtemos
\dfrac{(11+3x)^2}{36}+25=\dfrac{229}{9}.
Multiplicando ambos os lados por 36 para eliminar denominadores:
(11+3x)^2+900=36\cdot\dfrac{229}{9}.
Como 36\cdot\dfrac{229}{9}=4\cdot229=916, segue
(11+3x)^2+900=916.
Subtraindo 900:
(11+3x)^2=16.

Passo 6

Resolver (11+3x)^2=16 dá duas possibilidades:
11+3x=4\quad\text{ou}\quad 11+3x=-4.
Resolvendo cada uma:
  • Se 11+3x=4 então 3x=-7 e x=-\dfrac{7}{3}.
  • Se 11+3x=-4 então 3x=-15 e x=-5.

Passo 7

Interpretação final: os valores de x que satisfazem a condição são x=-5 e x=-\dfrac{7}{3}. Comparando com as alternativas fornecidas, essa é a alternativa correta.

Resposta

b. x=-5 ou x=-\dfrac{7}{3}

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