Efetue:
\frac{i+2}{3-2 i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente entre dois números complexos:
  • Valor dado: \dfrac{i+2}{3-2i}.
    A tarefa é simplificar esse quociente e escrever o resultado na forma a+bi (parte real mais parte imaginária).

Passo 2

Estratégia que vou aplicar (explicação didática): quando há um número complexo no denominador, uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo (a+bi) é (a-bi). Isso funciona porque
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,
que é um número real (sem parte imaginária). Assim o denominador fica real e a divisão fica fácil de separar em parte real e imaginária.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: o denominador é 3-2i, cujo conjugado é 3+2i. Multiplico numerador e denominador por esse conjugado:
\frac{i+2}{3-2i}=\frac{(i+2)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}.

Passo 4

Calculo do denominador usando a fórmula do produto de conjugados:
(3-2i)(3+2i)=3^2+(2)^2=9+4=13.
Portanto o denominador passa a ser o número real \,13.

Passo 5

Agora calculo o numerador expandindo o produto (i+2)(3+2i). Faço a distribuição termo a termo:
i\cdot3=3i, \qquad i\cdot2i=2i^2=2(-1)=-2, \qquad 2\cdot3=6, \qquad 2\cdot2i=4i.
Somando as partes reais e imaginárias:
  • Partes reais: -2+6=4.
  • Partes imaginárias: 3i+4i=7i.
Logo o numerador é 4+7i.

Passo 6

Divido o numerador pelo denominador real 13:
\frac{4+7i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i.
Essa é a forma padrão a+bi.

Resposta

\dfrac{4}{13}+\dfrac{7}{13}i

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