Calcule:
, onde
e
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
, ou seja, a derivada de
em relação a
avaliada em
. As informações dadas são:
Então tenho que diferenciar
em função de
levando em conta que
dependem de
, e só depois avaliar o resultado em
.
Passo 2
Primeiro vamos estabelecer a regra de diferenciação que vamos usar. Aqui temos um produto entre duas funções de
:
onde
e
. A regra do produto diz:
Além disso,
é uma exponencial composta
com
. A regra da cadeia para exponencial diz:
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calculo as derivadas de
em função de
(estas são fáceis):
Expliquei: para
usei que
e para
usei que
.
Passo 4
Agora calculo
onde
:
Substituindo as derivadas do passo anterior:
Passo 5
Calculo
usando a regra da cadeia para a exponencial:
Calculo
(derivada de
composta com
):
Passo 6
Aplicando a regra do produto (Passo 2) com
encontrados:
Substituindo:
Como
e
, fatorando
fica mais limpo:
Passo 7
Agora avalio em
. Primeiro calcule os valores auxiliares em
:
Então o expoente é
portanto
.
Calculo também as outras partes em
:
Passo 8
Substituo tudo na expressão de
avaliada em
:
Simplificando o que está entre colchetes:
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