Calcule:
\frac{d w}{d t}(0), onde w=e^{x+2 y+3 z} \operatorname{sen} x, x=4 t, y=\cos (2 t) e z=\ln (t+1)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \dfrac{d w}{d t}(0), ou seja, a derivada de w em relação a t avaliada em t=0. As informações dadas são:
w = e^{x+2y+3z}\sin x,
x = 4t,\qquad y = \cos(2t),\qquad z = \ln(t+1).
Então tenho que diferenciar w em função de t levando em conta que x,y,z dependem de t, e só depois avaliar o resultado em t=0.

Passo 2

Primeiro vamos estabelecer a regra de diferenciação que vamos usar. Aqui temos um produto entre duas funções de t:
w(t) = A(t)\,B(t),
onde A(t)=e^{x+2y+3z} e B(t)=\sin x. A regra do produto diz:
\dfrac{d}{dt}[A(t)B(t)] = A'(t)B(t) + A(t)B'(t).
Além disso, A(t) é uma exponencial composta A(t)=e^{u(t)} com u(t)=x+2y+3z. A regra da cadeia para exponencial diz:
\dfrac{d}{dt}e^{u(t)} = e^{u(t)}\cdot u'(t).
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calculo as derivadas de x,y,z em função de t (estas são fáceis):
x(t)=4t \implies x'(t)=\dfrac{dx}{dt}=4.
y(t)=\cos(2t) \implies y'(t)=\dfrac{dy}{dt}=-\sin(2t)\cdot 2 = -2\sin(2t).
z(t)=\ln(t+1) \implies z'(t)=\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{1}{t+1}.
Expliquei: para y usei que \dfrac{d}{dt}\cos(u)= -\sin(u)\,u' e para z usei que \dfrac{d}{dt}\ln(t+1)=1/(t+1).

Passo 4

Agora calculo u'(t) onde u(t)=x+2y+3z:
u'(t)=x'(t)+2y'(t)+3z'(t).
Substituindo as derivadas do passo anterior:
u'(t)=4 + 2\big(-2\sin(2t)\big) + 3\cdot\dfrac{1}{t+1} =4 -4\sin(2t) + \dfrac{3}{t+1}.

Passo 5

Calculo A'(t) usando a regra da cadeia para a exponencial:
A'(t)=\dfrac{d}{dt}e^{u(t)} = e^{u(t)}\cdot u'(t) = e^{x+2y+3z}\left(4 -4\sin(2t) + \dfrac{3}{t+1}\right).
Calculo B'(t) (derivada de \sin x composta com x(t)):
B'(t)=\dfrac{d}{dt}\sin(x(t))=\cos(x(t))\cdot x'(t)=\cos(4t)\cdot 4 = 4\cos(4t).

Passo 6

Aplicando a regra do produto (Passo 2) com A, A', B, B' encontrados:
\dfrac{dw}{dt} = A'(t)B(t) + A(t)B'(t).
Substituindo:
\dfrac{dw}{dt} = e^{x+2y+3z}\left(4 -4\sin(2t) + \dfrac{3}{t+1}\right)\sin x + e^{x+2y+3z}\cdot 4\cos(4t).
Como x=4t e \sin x=\sin(4t), fatorando e^{x+2y+3z} fica mais limpo:
\dfrac{dw}{dt} = e^{x+2y+3z}\Big[\big(4 -4\sin(2t) + \dfrac{3}{t+1}\big)\sin(4t) + 4\cos(4t)\Big].

Passo 7

Agora avalio em t=0. Primeiro calcule os valores auxiliares em t=0:
x(0)=4\cdot 0 = 0,\qquad y(0)=\cos(0)=1,\qquad z(0)=\ln(1)=0.
Então o expoente é
x(0)+2y(0)+3z(0)=0+2\cdot 1 + 0 = 2,
portanto e^{x+2y+3z}\big|_{t=0}=e^{2}.
Calculo também as outras partes em t=0:
\sin(2t)\big|_{t=0}=\sin(0)=0,
\sin(4t)\big|_{t=0}=\sin(0)=0,
\cos(4t)\big|_{t=0}=\cos(0)=1,
\dfrac{3}{t+1}\Big|_{t=0}=3.

Passo 8

Substituo tudo na expressão de \dfrac{dw}{dt} avaliada em t=0:
\dfrac{dw}{dt}(0) = e^{2}\Big[\big(4 -4\cdot 0 + 3\big)\cdot 0 + 4\cdot 1\Big].
Simplificando o que está entre colchetes:
\big(4+3\big)\cdot 0 + 4 = 0 + 4 = 4.
Logo
\dfrac{dw}{dt}(0) = e^{2}\cdot 4 = 4e^{2}.

Resposta

4e^{2}

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