Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor \vec{v}.
f(x, y)=x^{2} y^{3}+2 x^{4} y,(1,-2), \vec{v} é o vetor unitário que aponta para o crescimen to de y e cuja reta suporte forma um ângulo de \pi / 3 rad com o semieixo positivo de x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto (1,-2) na direção do vetor unitário \vec{v} que: aponta para o crescimento de y e cuja reta suporte forma ângulo \pi/3 com o semieixo positivo de x.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y^{3}+2x^{4}y.
  • O ponto onde queremos a derivada direcional é (1,-2).
  • A direção é um vetor unitário que faz ângulo \pi/3 com o eixo x e aponta para o aumento de y (ou seja, o ângulo é medido no sentido anti-horário, com seno positivo).

Passo 2

Precisamos obter as componentes do vetor unitário \vec{v}. Um vetor unitário que forma ângulo \theta com o eixo x tem componentes (\cos\theta,\sin\theta). Como \theta=\pi/3 e o vetor aponta para aumento de y, tomamos as componentes positivas correspondentes a esse ângulo:
\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
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\vec{v}=\left(\frac{1}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 3

Lembrete teórico prático (passo-a-passo do que usar na prova): a derivada direcional de f num ponto P=(x_0,y_0) na direção do vetor unitário \vec{u}=(u_1,u_2) é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e \vec{u}:
D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec{u}.
Explicando: o gradiente \nabla f=(f_x,f_y) reúne as taxas de variação de f em relação a x e a y. O produto escalar pega a combinação linear dessas taxas segundo a direção \vec{u}; assim obtemos a taxa de variação de f ao andar infinitesimalmente nessa direção. Na prova, em geral calcule: (i) f_x e f_y, (ii) avalie em (x_0,y_0), (iii) faça o produto escalar com o vetor unitário.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de f. Primeiro, f_x é a derivada de f em relação a x, tratando y como constante:
  • Para x^{2}y^{3}, a derivada em x é 2x\,y^{3} (regra do poder: derivada de x^2 é 2x, multiplicada por constante y^3).
  • Para 2x^{4}y, a derivada em x é 8x^{3}y (derivada de x^4 é 4x^3, vezes 2y 8x^3 y).
    Portanto
f_x(x,y)=2x\,y^{3}+8x^{3}y.
Agora f_y, derivada de f em relação a y, tratando x como constante:
  • Para x^{2}y^{3}, a derivada em y é 3x^{2}y^{2} (derivada de y^3 é 3y^2, vezes x^2).
  • Para 2x^{4}y, a derivada em y é 2x^{4} (derivada de y é 1, vezes 2x^4).
    Portanto
f_y(x,y)=3x^{2}y^{2}+2x^{4}.

Passo 5

Agora avaliamos \nabla f no ponto (1,-2). Substituímos x=1 e y=-2.
Calcule f_x(1,-2):
f_x(1,-2)=2\cdot 1\cdot(-2)^{3}+8\cdot 1^{3}\cdot(-2).
Como (-2)^3=-8, isso dá
f_x(1,-2)=2\cdot(-8)+8\cdot(-2)=-16-16=-32.
Calcule f_y(1,-2):
f_y(1,-2)=3\cdot 1^{2}\cdot(-2)^{2}+2\cdot 1^{4}.
Como (-2)^2=4, isso dá
f_y(1,-2)=3\cdot 4+2=12+2=14.
Assim o gradiente no ponto é
\displaystyle \nabla f(1,-2)=(-32,\;14).

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional: o produto escalar entre \nabla f(1,-2) e \vec{v}:
D_{\vec{v}}f(1,-2)=\nabla f(1,-2)\cdot \vec{v}=(-32,14)\cdot\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Calculando o produto escalar:
D_{\vec{v}}f(1,-2)=-32\cdot\frac{1}{2}+14\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-16+\;7\sqrt{3}.

Resposta

-16+7\sqrt{3}

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