Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
é o vetor unitário que aponta para o crescimen to de
e cuja reta suporte forma um ângulo de
rad com o semieixo positivo de
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
que: aponta para o crescimento de
e cuja reta suporte forma ângulo
com o semieixo positivo de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada direcional é
. - A direção é um vetor unitário que faz ângulo
com o eixo e aponta para o aumento de (ou seja, o ângulo é medido no sentido anti-horário, com seno positivo).
Passo 2
Precisamos obter as componentes do vetor unitário
. Um vetor unitário que forma ângulo
com o eixo
tem componentes
. Como
e o vetor aponta para aumento de
, tomamos as componentes positivas correspondentes a esse ângulo:
Logo
Passo 3
Lembrete teórico prático (passo-a-passo do que usar na prova): a derivada direcional de
num ponto
na direção do vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
em
e
:
Explicando: o gradiente
reúne as taxas de variação de
em relação a
e a
. O produto escalar pega a combinação linear dessas taxas segundo a direção
; assim obtemos a taxa de variação de
ao andar infinitesimalmente nessa direção. Na prova, em geral calcule: (i)
e
, (ii) avalie em
, (iii) faça o produto escalar com o vetor unitário.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de
. Primeiro,
é a derivada de
em relação a
, tratando
como constante:
- Para
, a derivada em é (regra do poder: derivada de é , multiplicada por constante ). - Para
, a derivada em é (derivada de é , vezes dá ).
Portanto
Agora
, derivada de
em relação a
, tratando
como constante:
- Para
, a derivada em é (derivada de é , vezes ). - Para
, a derivada em é (derivada de é , vezes ).
Portanto
Passo 5
Agora avaliamos
no ponto
. Substituímos
e
.
Calcule
:
Como
, isso dá
Calcule
:
Como
, isso dá
Assim o gradiente no ponto é
Passo 6
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional: o produto escalar entre
e
:
Calculando o produto escalar: