Calcule.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
em relação a
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Quer-se calcular
.
Passo 2
Possíveis caminhos para calcular essa derivada:
- Expandir
com o binômio de Newton e derivar termo a termo (mais trabalhoso). - Usar a regra da cadeia (método direto e rápido em prova).
Escolho a regra da cadeia porque é mais eficiente: evita expandir polinômio e dá o resultado em poucas contas, o que é ideal em prova quando o tempo é curto.
Passo 3
Explicando a regra da cadeia de forma simples e didática.
Se , isto é, uma função composta onde
é a função interna e
é a função externa (com
), então
Se
O raciocínio por trás é: a mudança de
quando
varia é a mudança de
em função de
multiplicada pela mudança de
quando
varia.
Aplicando isso aqui, escolha:
então
.
Calcule as derivadas das partes:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
:
Multiplicando os fatores constantes:
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): expandindo com o binômio de Newton,
Derivando termo a termo:
Expandindo
obtém-se também
logo ambas as abordagens concordam.
Passo 6
Exemplo rápido para treinar (faça parecido na prova): se tiver
, por regra da cadeia faz-se
Percebe a ideia: derivada do expoente vezes a função interna derivada.