Calcule.
\frac{d}{d x}\left((2 x-1)^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função (2x-1)^{4} em relação a x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)= (2x-1)^{4}.
  • Quer-se calcular \dfrac{d}{dx}\big((2x-1)^{4}\big).

Passo 2

Possíveis caminhos para calcular essa derivada:
  • Expandir (2x-1)^{4} com o binômio de Newton e derivar termo a termo (mais trabalhoso).
  • Usar a regra da cadeia (método direto e rápido em prova).
Escolho a regra da cadeia porque é mais eficiente: evita expandir polinômio e dá o resultado em poucas contas, o que é ideal em prova quando o tempo é curto.

Passo 3

Explicando a regra da cadeia de forma simples e didática.
Se f(x)=g(h(x)), isto é, uma função composta onde h(x) é a função interna e g(u) é a função externa (com u=h(x)), então
\frac{d}{dx}f(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
O raciocínio por trás é: a mudança de f quando x varia é a mudança de g em função de u multiplicada pela mudança de u quando x varia.
Aplicando isso aqui, escolha:
g(u)=u^{4},\qquad h(x)=2x-1,
então f(x)=g(h(x)).
Calcule as derivadas das partes:
g'(u)=4u^{3}, \qquad h'(x)=2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big((2x-1)^{4}\big)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x)=4\big(h(x)\big)^{3}\cdot 2.
Substituindo h(x)=2x-1:
\frac{d}{dx}\big((2x-1)^{4}\big)=4(2x-1)^{3}\cdot 2.
Multiplicando os fatores constantes:
\frac{d}{dx}\big((2x-1)^{4}\big)=8(2x-1)^{3}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para fixar a ideia): expandindo com o binômio de Newton,
(2x-1)^{4}=16x^{4}-32x^{3}+24x^{2}-8x+1.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(16x^{4}-32x^{3}+24x^{2}-8x+1\big)=64x^{3}-96x^{2}+48x-8.
Expandindo 8(2x-1)^{3} obtém-se também
8(2x-1)^{3}=64x^{3}-96x^{2}+48x-8,
logo ambas as abordagens concordam.

Passo 6

Exemplo rápido para treinar (faça parecido na prova): se tiver \dfrac{d}{dx}\big((3x+2)^{5}\big), por regra da cadeia faz-se
\frac{d}{dx}\big((3x+2)^{5}\big)=5(3x+2)^{4}\cdot 3=15(3x+2)^{4}.
Percebe a ideia: derivada do expoente vezes a função interna derivada.

Resposta

8(2x-1)^{3}

Exercícios relacionados