Calcule.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a derivada em relação a
da função
Informações dadas que vamos usar:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Observação importante: a função só está definida quando
(porque nesses pontos). A derivada que vamos obter também valerá apenas para .
Passo 2
Escolha do método e justificativa: o jeito mais direto é usar a regra do quociente, que é a fórmula padrão para derivar uma razão
. Vou explicar essa regra de forma didática.
Regra do quociente (enunciado): se
com
e
diferenciáveis e
, então
Por que isso vale? Uma derivação curta:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui
e
são as derivadas de
e
respectivamente. Essa é a fórmula que vamos usar.
Passo 3
Aplicar a regra do quociente ao caso concreto.
Identificamos
Calcular as derivadas de
e
:
Agora substituímos na fórmula do quociente:
Passo 4
Simplificar passo a passo o numerador.
Fatorando em comum no numerador:
Fatorando
Calcular o que está entre colchetes:
Portanto o numerador vira
. Concluímos:
válido para
.