Calcule.
\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada em relação a x da função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Numerador: u(x)=x^{2}+1.
  • Denominador: v(x)=x^{2}-1.
  • Observação importante: a função só está definida quando x\neq \pm 1 (porque v(x)=0 nesses pontos). A derivada que vamos obter também valerá apenas para x\neq \pm 1.

Passo 2

Escolha do método e justificativa: o jeito mais direto é usar a regra do quociente, que é a fórmula padrão para derivar uma razão u(x)/v(x). Vou explicar essa regra de forma didática.
Regra do quociente (enunciado): se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Por que isso vale? Uma derivação curta:
\frac{u}{v}=u\cdot v^{-1}.
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(u\cdot v^{-1}\big)=u'\,v^{-1}+u\cdot\big(v^{-1}\big)'=u'\,v^{-1}+u\cdot(-1)v^{-2}v'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v respectivamente. Essa é a fórmula que vamos usar.

Passo 3

Aplicar a regra do quociente ao caso concreto.
Identificamos
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=x^{2}-1.
Calcular as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+1\big)=2x, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}-1\big)=2x.
Agora substituímos na fórmula do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2x\,(x^{2}-1)-(x^{2}+1)\,2x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

Simplificar passo a passo o numerador.
Fatorando 2x em comum no numerador:
f'(x)=\frac{2x\big[(x^{2}-1)-(x^{2}+1)\big]}{(x^{2}-1)^{2}}.
Calcular o que está entre colchetes:
(x^{2}-1)-(x^{2}+1)=x^{2}-1-x^{2}-1=-2.
Portanto o numerador vira 2x\cdot(-2)=-4x. Concluímos:
f'(x)=-\frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}},
válido para x\neq \pm 1.

Resposta

\displaystyle -\frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}

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