Calcule.
\frac{d}{d x}(\sqrt{3 x-2})

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a x da função
\sqrt{3x-2}.
Informações dadas e úteis:
  • A função é f(x)=\sqrt{3x-2}.
  • A expressão dentro da raiz é 3x-2; para que a raiz quadrada esteja definida no conjunto dos números reais é necessário 3x-2\ge 0, ou seja x\ge \tfrac{2}{3}.
  • A tarefa é calcular \dfrac{d}{dx}\bigl(\sqrt{3x-2}\bigr).

Passo 2

Reescrever a raiz como potência facilita o uso das regras de derivação. Escreve-se
\sqrt{3x-2} = (3x-2)^{\tfrac{1}{2}}.
Agora a função aparece como uma potência de uma função interna, o que sugere usar a regra da cadeia.

Passo 3

Explicando a regra da cadeia de forma simples: se uma função é composta, ou seja F(x)=g(h(x)), então a derivada é
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Em palavras: derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna. Isso é porque a variação total de F resulta da variação da externa em função da variação da interna, combinada com a variação da interna em função de x.

Passo 4

Identificar função externa e interna no caso:
  • Função externa (em termos de uma variável genérica u): g(u)=u^{\tfrac{1}{2}}.
  • Função interna: u(x)=3x-2.
Aplicar a regra da potência para g(u)=u^{\tfrac{1}{2}}: a derivada em relação a u é
g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-\tfrac{1}{2}}.
Explicação da regra da potência: para u^n tem-se \dfrac{d}{du}u^n = n u^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então o expoente fica \tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular a derivada da função interna u(x)=3x-2. Como é uma função linear, a derivada é o coeficiente de x:
u'(x)=3.
Explicação curta: derivada de ax+b é a.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia: multiplicar g'(u(x)) por u'(x). Substituindo u(x)=3x-2,
\frac{d}{dx}\bigl((3x-2)^{\tfrac{1}{2}}\bigr) = \tfrac{1}{2}(3x-2)^{-\tfrac{1}{2}}\cdot 3.
Simplificando os fatores,
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{3x-2}\bigr) = \frac{3}{2}(3x-2)^{-\tfrac{1}{2}}.
Reescrevendo com raiz para ficar mais familiar,
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{3x-2}\bigr) = \frac{3}{2\sqrt{3x-2}}.
Observação sobre domínio da derivada: a expressão da derivada envolve \sqrt{3x-2} no denominador, portanto a derivada está definida para x>\tfrac{2}{3}. No ponto x=\tfrac{2}{3} a função original está definida (vale 0), mas a derivada não existe ali (tende a infinito à direita).

Resposta

\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}

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