Calcule.
Passo 1
O enunciado pede a derivada em relação a
da função
Informações dadas e úteis:
- A função é
. - A expressão dentro da raiz é
; para que a raiz quadrada esteja definida no conjunto dos números reais é necessário , ou seja . - A tarefa é calcular
.
Passo 2
Reescrever a raiz como potência facilita o uso das regras de derivação. Escreve-se
Agora a função aparece como uma potência de uma função interna, o que sugere usar a regra da cadeia.
Passo 3
Explicando a regra da cadeia de forma simples: se uma função é composta, ou seja
, então a derivada é
Em palavras: derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna. Isso é porque a variação total de
resulta da variação da externa em função da variação da interna, combinada com a variação da interna em função de
.
Passo 4
Identificar função externa e interna no caso:
- Função externa (em termos de uma variável genérica
): . - Função interna:
.
Aplicar a regra da potência para
: a derivada em relação a
é
Explicação da regra da potência: para
tem-se
. Aqui
, então o expoente fica
.
Passo 5
Calcular a derivada da função interna
. Como é uma função linear, a derivada é o coeficiente de
:
Explicação curta: derivada de
é
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia: multiplicar
por
. Substituindo
,
Simplificando os fatores,
Reescrevendo com raiz para ficar mais familiar,
Observação sobre domínio da derivada: a expressão da derivada envolve
no denominador, portanto a derivada está definida para
. No ponto
a função original está definida (vale
), mas a derivada não existe ali (tende a infinito à direita).