Determine \frac{d y}{d x}.
y=\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular \dfrac{dy}{dx} para a função \displaystyle y=\left(\frac{x^{2}+1}{x}\right)^{2}.
  • Informação importante sobre o domínio: o denominador x aparece em \dfrac{x^{2}+1}{x}, portanto \,x\neq0.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que):
É possível usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente, mas é muito mais simples primeiro simplificar a expressão algébrica antes de derivar. Simplificar evita contas repetidas na prova e reduz erros — então esse será o caminho adotado. (Como alternativa, poderia-se aplicar diretamente regra da cadeia e regra do quociente; no final ambas dão o mesmo resultado.)

Passo 3

Simplificação algébrica passo a passo:
Dividindo cada termo de x^{2}+1 por x obtemos
\frac{x^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}.
Elevando ao quadrado:
y=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}.
Expandindo o quadrado (usando (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}):
y=x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=x^{2}+2+x^{-2}.

Passo 4

Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicação didática):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se f(x)=g(x)+h(x) então f'(x)=g'(x)+h'(x).
  • Regra do termo constante: a derivada de uma constante C é 0: \dfrac{d}{dx}C=0.
  • Regra do poder (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é a constante que indica a potência. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x e \dfrac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.

Passo 5

Aplicando as regras à expressão simplificada y=x^{2}+2+x^{-2}:
  • Derivada de x^{2} é 2x por regra do poder.
  • Derivada de 2 é 0.
  • Derivada de x^{-2} é -2x^{-3} por regra do poder com n=-2.
Portanto, juntando (regra da soma),
\frac{dy}{dx}=2x+0-2x^{-3}.

Passo 6

Deixar a resposta numa forma racional mais comum (passo algébrico):
Escrever -2x^{-3} como -\dfrac{2}{x^{3}} e colocar sobre denominador comum, se quiser:
\frac{dy}{dx}=2x-\frac{2}{x^{3}}.
Colocando em um único quociente com denominador x^{3}:
\frac{dy}{dx}=\frac{2x^{4}-2}{x^{3}}=\frac{2\bigl(x^{4}-1\bigr)}{x^{3}}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\bigl(x^{4}-1\bigr)}{x^{3}}

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