Determine
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular
para a função . - Informação importante sobre o domínio: o denominador
aparece em , portanto .
Passo 2
Escolha do método (explicando por que):
É possível usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente, mas é muito mais simples primeiro simplificar a expressão algébrica antes de derivar. Simplificar evita contas repetidas na prova e reduz erros — então esse será o caminho adotado. (Como alternativa, poderia-se aplicar diretamente regra da cadeia e regra do quociente; no final ambas dão o mesmo resultado.)
É possível usar a regra da cadeia combinada com a regra do quociente, mas é muito mais simples primeiro simplificar a expressão algébrica antes de derivar. Simplificar evita contas repetidas na prova e reduz erros — então esse será o caminho adotado. (Como alternativa, poderia-se aplicar diretamente regra da cadeia e regra do quociente; no final ambas dão o mesmo resultado.)
Passo 3
Simplificação algébrica passo a passo:
Dividindo cada termo de por
obtemos
Dividindo cada termo de
Elevando ao quadrado:
Expandindo o quadrado (usando
):
Passo 4
Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicação didática):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
então . - Regra do termo constante: a derivada de uma constante
é : . - Regra do poder (power rule): para qualquer número real
,
Aqui
é a variável e
é a constante que indica a potência. Por exemplo,
e
.
Passo 5
Aplicando as regras à expressão simplificada
:
- Derivada de
é por regra do poder. - Derivada de
é . - Derivada de
é por regra do poder com .
Portanto, juntando (regra da soma),
Passo 6
Deixar a resposta numa forma racional mais comum (passo algébrico):
Escrever como
e colocar sobre denominador comum, se quiser:
Escrever
Colocando em um único quociente com denominador
: