Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para calcular
usando diferenciação implícita. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A variável
depende de (ou seja, ), mas a relação entre e é dada implicitamente pela equação acima. - A tarefa é encontrar a derivada
em termos de e . - Deve-se observar que pode haver pontos onde a derivada não exista (por exemplo, divisão por zero no resultado final).
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a
. Antes disso, lembro duas regras que usaremos:
- Regra da potência: a derivada de
com respeito a é . Por exemplo, a derivada de é . - Regra da cadeia (explicada no próximo passo): serve quando derivamos uma função composta, por exemplo
sendo uma função de .
Agora aplico a derivada termo a termo em relação a
:
derivada de em relação a
é
.
derivada de
Passo 3
Derivada de
em relação a
: aqui
é função de
, então usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se
e queremos derivar
em relação a
, então
No nosso caso
, logo
Também a derivada da constante
é
.
Passo 4
Aplicando as derivações ao lado esquerdo e direito da equação original obtemos:
que vira
Agora isolamos
. Primeiro passo: passar o termo com
para o outro lado:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
) obtemos
Passo 5
Interpretação e pontos especiais:
- A expressão
é válida onde . - Se
, a fórmula dá divisão por zero; nesse caso a derivada não existe (geometricamente correspondem a tangentes verticais). No conjunto definido pela equação , os pontos com são , onde de fato a reta tangente é vertical.