Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
x^{2}-y^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-y^{2}=1
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx} usando diferenciação implícita. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A variável y depende de x (ou seja, y=y(x)), mas a relação entre x e y é dada implicitamente pela equação acima.
  • A tarefa é encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
  • Deve-se observar que pode haver pontos onde a derivada não exista (por exemplo, divisão por zero no resultado final).

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da igualdade em relação a x. Antes disso, lembro duas regras que usaremos:
  • Regra da potência: a derivada de x^{n} com respeito a x é n x^{n-1}. Por exemplo, a derivada de x^{2} é 2x.
  • Regra da cadeia (explicada no próximo passo): serve quando derivamos uma função composta, por exemplo y^{2} sendo y uma função de x.
Agora aplico a derivada termo a termo em relação a x:
derivada de x^{2} em relação a x é 2x.

Passo 3

Derivada de y^{2} em relação a x: aqui y é função de x, então usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se u=u(x) e queremos derivar u^{2} em relação a x, então
\frac{d}{dx}\big(u^{2}\big)=2u\cdot\frac{du}{dx}.
No nosso caso u=y(x), logo
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx}.
Também a derivada da constante 1 é 0.

Passo 4

Aplicando as derivações ao lado esquerdo e direito da equação original obtemos:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}-y^{2}\big)=\frac{d}{dx}(1)
que vira
2x - 2y\cdot\frac{dy}{dx} = 0.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro passo: passar o termo com \dfrac{dy}{dx} para o outro lado:
2x = 2y\cdot\frac{dy}{dx}.
Dividindo ambos os lados por 2y (desde que y\neq 0) obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.

Passo 5

Interpretação e pontos especiais:
  • A expressão \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y} é válida onde y\neq 0.
  • Se y=0, a fórmula dá divisão por zero; nesse caso a derivada não existe (geometricamente correspondem a tangentes verticais). No conjunto definido pela equação x^{2}-y^{2}=1, os pontos com y=0 são (x,y)=(\pm1,0), onde de fato a reta tangente é vertical.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}

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