Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para calcular
(a derivada de
em relação a
), sabendo que
é função de
(ou seja,
).
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A equação relaciona
e e não dá explicitamente em função de . - Quer-se a derivada implícita
.
Passo 2
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da potência: a derivada de
em relação a é . Ex.: . - Regra da cadeia: se uma quantidade
depende de (por exemplo ), a derivada de é . No nosso caso, . Isso acontece porque derivamos a potência externa e multiplicamos pela derivada da parte interna ( ). - Regra do produto: a derivada de
é . Em símbolos, . - Constante multiplicativa: se uma expressão é multiplicada por uma constante (ex.:
), a constante sai como fator na derivada: .
Passo 3
Agora diferenciamos os dois lados da equação em relação a
. Diferenciando termo a termo:
Derivada do lado esquerdo:
Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia:
Portanto o lado esquerdo vira
Derivada do lado direito:
Usando a regra do produto em
:
Multiplicando por
:
Então a equação diferenciada é
Passo 4
Agora isolamos
. Primeiro agrupamos os termos que contêm
num lado e os outros no lado oposto:
Fatorando
no lado esquerdo:
Para obter
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Simplificamos a fração retirando o fator comum
do numerador e do denominador:
Cancelando
: