Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
\ln (x)+\ln (y)=1

Passo 1

O enunciado pede calcular \dfrac{dy}{dx} (derivada implícita) da equação
\ln(x)+\ln(y)=1.
Informações fornecidas:
  • A relação entre x e y é \ln(x)+\ln(y)=1.
  • Como há \ln(\cdot), necessariamente x>0 e y>0 (domínio das funções logarítmicas).
  • A pergunta é: encontrar \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Uma propriedade útil dos logaritmos: para a>0 e b>0 vale
\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab).
Aplicando isso à equação dada (isso é apenas uma reescrita que facilita a visão),
\ln(x)+\ln(y)=\ln(xy),
logo a equação original é equivalente a
\ln(xy)=1.
Observação: essa reescrita é válida porque x>0 e y>0.

Passo 3

Agora vamos diferenciar ambos os lados em relação a x. Antes, uma explicação rápida da regra que vamos usar: se u=u(x) é função de x, então
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(u(x))\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isso é a regra da cadeia aplicada ao logaritmo: derivada de \ln é 1/argumento, multiplicada pela derivada interna.
No nosso caso queremos derivar \ln(xy). Note que xy é uma função de x e y, mas y depende de x. Então apliquei a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(xy)\bigr)=\frac{d}{dx}(1).
O lado direito é constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(xy)\bigr)=0.

Passo 4

Agora calcule a derivada do lado esquerdo usando \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln(u)\bigr)=\dfrac{u'}{u} com u(x)=x\,y(x). Temos
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(xy)\bigr)=\frac{(x y)'}{x y}.
Calcule (x y)' usando a regra do produto (lembre: y depende de x):
(xy)' = x\frac{dy}{dx} + y\frac{d}{dx}(x) = x\frac{dy}{dx} + y\cdot 1 = x\frac{dy}{dx}+y.
Logo
\frac{(xy)'}{xy}=\frac{x\frac{dy}{dx}+y}{xy}.
Como esse quociente deve ser igual a 0 (do passo anterior), obtemos
\frac{x\frac{dy}{dx}+y}{xy}=0.

Passo 5

Agora resolvemos a equação para \dfrac{dy}{dx}. Multiplicando ambos os lados por xy (válido porque x>0, y>0), obtemos
x\frac{dy}{dx}+y=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
x\frac{dy}{dx}=-y,
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}.
Pronto — essa é a expressão da derivada implícita em termos de x e y.

Passo 6

Para checar (sempre bom fazer uma verificação rápida): da equação original podemos também escrever
\ln(xy)=1 \quad\Rightarrow\quad xy=e^1=e.
Assim y=\dfrac{e}{x}. Derivando explicitamente essa expressão:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{e}{x}\right)=e\cdot\frac{d}{dx}\!(x^{-1})=e\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{e}{x^2}.
Como y=e/x, temos -\dfrac{e}{x^2}=-\dfrac{y}{x}, que coincide com o resultado obtido por diferenciação implícita. Boa confirmação!

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}

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