Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado pede calcular
(derivada implícita) da equação
Informações fornecidas:
- A relação entre
e é . - Como há
, necessariamente e (domínio das funções logarítmicas). - A pergunta é: encontrar
em termos de e .
Passo 2
Uma propriedade útil dos logaritmos: para
e
vale
Aplicando isso à equação dada (isso é apenas uma reescrita que facilita a visão),
logo a equação original é equivalente a
Observação: essa reescrita é válida porque
e
.
Passo 3
Agora vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Antes, uma explicação rápida da regra que vamos usar: se
é função de
, então
Isso é a regra da cadeia aplicada ao logaritmo: derivada de
é
argumento, multiplicada pela derivada interna.
No nosso caso queremos derivar
. Note que
é uma função de
e
, mas
depende de
. Então apliquei a regra da cadeia:
O lado direito é constante, então
Passo 4
Agora calcule a derivada do lado esquerdo usando
com
. Temos
Calcule
usando a regra do produto (lembre:
depende de
):
Logo
Como esse quociente deve ser igual a
(do passo anterior), obtemos
Passo 5
Agora resolvemos a equação para
. Multiplicando ambos os lados por
(válido porque
), obtemos
Isolando
:
Pronto — essa é a expressão da derivada implícita em termos de
e
.
Passo 6
Para checar (sempre bom fazer uma verificação rápida): da equação original podemos também escrever
Assim
. Derivando explicitamente essa expressão:
Como
, temos
, que coincide com o resultado obtido por diferenciação implícita. Boa confirmação!