Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
e^{x}+e^{y}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
e^{x}+e^{y}=1
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx} — ou seja, a derivada de y em relação a x quando y é uma função implícita de x. As informações relevantes são apenas a própria equação: \,e^{x}+e^{y}=1.

Passo 2

Explicação da técnica que vou usar (cadeia e derivação termo a termo):
  • Quando diferenciamos em relação a x uma soma, derivamos cada parcela separadamente.
  • A derivada da função exponencial com argumento que depende de x segue a regra da cadeia: se u=u(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • No nosso caso e^{x} tem argumento u(x)=x, então \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Para e^{y}, o argumento é u(x)=y(x). Como y depende de x, aplica-se a regra da cadeia e obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{y(x)}\bigr)=e^{y(x)}\cdot \frac{dy}{dx}.
Isto é essencial: sempre que aparece y dentro de uma função e y é função de x, multiplica-se pela \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora diferencio ambos os lados da equação \,e^{x}+e^{y}=1 em relação a x, termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(e^{y}\bigr) = \frac{d}{dx}(1).
Usando o que foi explicado no passo anterior:
e^{x} + e^{y}\cdot\frac{dy}{dx} = 0,
pois \dfrac{d}{dx}(1)=0.

Passo 4

Isolo \dfrac{dy}{dx}. Primeiro passo: passo e^{x} para o outro lado,
e^{y}\cdot\frac{dy}{dx} = -e^{x}.
Agora divido por e^{y} (que é sempre positivo, então não há problema em dividir):
\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{x}}{e^{y}}.

Passo 5

Podemos simplificar a fração usando propriedades dos expoentes:
\frac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x-y}.
Portanto uma forma mais compacta da derivada é
\frac{dy}{dx} = -e^{\,x-y}.

Passo 6

Interpretação rápida e exemplo numérico para fixar:
  • Como e^{x}>0 e e^{y}>0 para todo x,y, o quociente -\dfrac{e^{x}}{e^{y}} é sempre negativo: a curva implícita tem inclinação negativa em todos os pontos válidos.
  • Exemplo: se x=-1 então e^{x}=e^{-1}\approx0{,}3679. Da equação e^{y}=1-e^{x}\approx0{,}6321, logo y\approx\ln(0{,}6321)\approx-0{,}458. A derivada vale
\frac{dy}{dx} = -e^{x-y} \approx -e^{-1-(-0{,}458)} = -e^{-0{,}542}\approx -0{,}581,
que confirma o sinal e um valor razoável.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{e^{x}}{e^{y}} = -e^{\,x-y}

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