Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para calcular
— ou seja, a derivada de
em relação a
quando
é uma função implícita de
. As informações relevantes são apenas a própria equação:
.
Passo 2
Explicação da técnica que vou usar (cadeia e derivação termo a termo):
- Quando diferenciamos em relação a
uma soma, derivamos cada parcela separadamente. - A derivada da função exponencial com argumento que depende de
segue a regra da cadeia: se , então
- No nosso caso
tem argumento , então . - Para
, o argumento é . Como depende de , aplica-se a regra da cadeia e obtemos
Isto é essencial: sempre que aparece
dentro de uma função e
é função de
, multiplica-se pela
.
Passo 3
Agora diferencio ambos os lados da equação
em relação a
, termo a termo:
Usando o que foi explicado no passo anterior:
pois
.
Passo 4
Isolo
. Primeiro passo: passo
para o outro lado,
Agora divido por
(que é sempre positivo, então não há problema em dividir):
Passo 5
Podemos simplificar a fração usando propriedades dos expoentes:
Portanto uma forma mais compacta da derivada é
Passo 6
Interpretação rápida e exemplo numérico para fixar:
- Como
e para todo , o quociente é sempre negativo: a curva implícita tem inclinação negativa em todos os pontos válidos. - Exemplo: se
então . Da equação , logo . A derivada vale
que confirma o sinal e um valor razoável.