Calcule
, se
é dado implicitamente pela equação
Use-a para calcule o valor das derivadas de primeira e segunda ordem de
em
. (Sugestão: Tente encontrar o valor de
usando a equação.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação implícita que relaciona
e é
- O enunciado pede duas coisas:
- Calcular
(ou seja, ) a partir da equação implícita. - Usar essa expressão para encontrar os valores de
e (a derivada de primeira e de segunda ordem de em ).
- Calcular
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- A função
depende de (ou seja, ). - A equação relaciona
e por uma exponencial e um termo polinomial em e .
Passo 2
Encontrar
(sugestão do enunciado): substituir
na equação e resolver para
.
Substituindo
em
obtém-se
Ou seja,
Como
implica
, obtemos
Pequeno incentivo: já temos o valor inicial de
em
, ótimo para avaliar as derivadas depois.
Passo 3
Explicar as ferramentas que vamos usar (cadeia, produto e regra da soma) de forma prática.
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então . No nosso caso , então . - Regra do produto: se
, então . - Ao diferenciar termos que envolvem
devemos lembrar que depende de , então .
Com isso em mente, vamos diferenciar a equação implícita.
Passo 4
Derivar implicitamente a equação para obter
.
A equação é
Derivando ambos os lados em relação a
:
- Lado esquerdo: usando regra da cadeia,
- Lado direito:
é produto de e . Aplicando a regra do produto,
A derivada de
é zero.
Portanto a igualdade das derivadas é
Agora resolvemos para
. Agrupando os termos com
no mesmo lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente,
Observação didática: essa é a forma explícita de
em termos de
e
. Em provas, normalmente chega-se a essa expressão e depois avalia-se nos pontos desejados.
Passo 5
Avaliar
usando
.
Para
e
, calculemos primeiro
:
Também
.
Substituindo em
temos, em
:
Portanto
. Parabéns — a derivada primeira no ponto é zero.
Passo 6
Preparar a diferenciação de segunda ordem: estratégia e notação auxiliar.
Para encontrar
vamos diferenciar novamente a equação já derivada, isto é, a igualdade
É prático introduzir uma notação curta para a exponencial:
Note que
pela regra da cadeia (mesma operação feita antes). Usaremos produto e cadeia várias vezes; farei tudo passo a passo para não pular nada.
Passo 7
Derivar novamente e isolar
(contas detalhadas).
Derivando a igualdade
obtemos, aplicando produto e cadeia cuidadosamente:
Lado esquerdo:
Mas
, então
Logo o lado esquerdo fica
Lado direito: derivar
.
Começando por
. É produto de
,
,
,
. Aplicando a regra do produto passo a passo:
Agora
Portanto
Agora o termo
:
Somando, o lado direito é
Vamos simplificar alguns termos:
-
. - Somando com o outro
dá . -
. -
.
Assim o lado direito final é
Agora igualamos o lado esquerdo e direito:
Agrupando os termos com
em um lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente,
onde lembramos que
.
Passo 8
Avaliar
usando os valores conhecidos:
,
,
,
.
Substituir termo a termo na fórmula de
:
-
-
-
-
-
- Denominador
Portanto o numerador é
e o denominador é
. Assim