Calcule \frac{d y}{d x}, se y=y(x) é dado implicitamente pela equação
e^{x^{2}+y+1}=y^{3} x^{2}+1
Use-a para calcule o valor das derivadas de primeira e segunda ordem de y em x=0. (Sugestão: Tente encontrar o valor de y(0) usando a equação.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação implícita que relaciona x e y(x) é
e^{x^{2}+y+1}=y^{3}x^{2}+1.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Calcular \dfrac{dy}{dx} (ou seja, y'(x)) a partir da equação implícita.
    2. Usar essa expressão para encontrar os valores de y'(0) e y''(0) (a derivada de primeira e de segunda ordem de y em x=0).
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • A função y depende de x (ou seja, y=y(x)).
  • A equação relaciona x e y por uma exponencial e um termo polinomial em y e x.

Passo 2

Encontrar y(0) (sugestão do enunciado): substituir x=0 na equação e resolver para y(0).
Substituindo x=0 em
e^{x^{2}+y+1}=y^{3}x^{2}+1,
obtém-se
e^{0+y(0)+1}=y(0)^{3}\cdot 0 + 1.
Ou seja,
e^{y(0)+1}=1.
Como e^{t}=1 implica t=0, obtemos
y(0)+1=0 \quad\Rightarrow\quad y(0)=-1.
Pequeno incentivo: já temos o valor inicial de y em x=0, ótimo para avaliar as derivadas depois.

Passo 3

Explicar as ferramentas que vamos usar (cadeia, produto e regra da soma) de forma prática.
  • Regra da cadeia para exponencial: se E(x)=e^{u(x)}, então E'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x). No nosso caso u(x)=x^{2}+y(x)+1, então u'(x)=2x+y'(x).
  • Regra do produto: se h(x)=f(x)g(x), então h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
  • Ao diferenciar termos que envolvem y(x) devemos lembrar que y depende de x, então \dfrac{d}{dx}y^{n}=n y^{n-1}y'.
Com isso em mente, vamos diferenciar a equação implícita.

Passo 4

Derivar implicitamente a equação para obter y'(x).
A equação é
e^{x^{2}+y+1}=y^{3}x^{2}+1.
Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Lado esquerdo: usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}+y+1}\bigr)=e^{x^{2}+y+1}\cdot(2x+y').
  • Lado direito: y^{3}x^{2} é produto de y^{3} e x^{2}. Aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}x^{2}\bigr)= (y^{3})'\,x^{2} + y^{3}\,(x^{2})' = 3y^{2}y'\,x^{2} + y^{3}\cdot 2x.
A derivada de +1 é zero.
Portanto a igualdade das derivadas é
e^{x^{2}+y+1}(2x+y') = 3x^{2}y^{2}y' + 2x y^{3}.
Agora resolvemos para y'. Agrupando os termos com y' no mesmo lado:
e^{x^{2}+y+1}\,y' - 3x^{2}y^{2}y' = 2x y^{3} - 2x e^{x^{2}+y+1}.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\bigl(e^{x^{2}+y+1} - 3x^{2}y^{2}\bigr) = 2x\bigl(y^{3} - e^{x^{2}+y+1}\bigr).
Finalmente,
\boxed{\,y' = \dfrac{2x\bigl(y^{3} - e^{x^{2}+y+1}\bigr)}{\,e^{x^{2}+y+1} - 3x^{2}y^{2}\,}\,.}
Observação didática: essa é a forma explícita de \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y(x). Em provas, normalmente chega-se a essa expressão e depois avalia-se nos pontos desejados.

Passo 5

Avaliar y'(0) usando y(0)=-1.
Para x=0 e y(0)=-1, calculemos primeiro e^{x^{2}+y+1}:
e^{0^{2}+(-1)+1}=e^{0}=1.
Também y(0)^{3}=(-1)^{3}=-1.
Substituindo em
y' = \dfrac{2x\bigl(y^{3} - e^{x^{2}+y+1}\bigr)}{e^{x^{2}+y+1} - 3x^{2}y^{2}},
temos, em x=0:
y'(0)=\dfrac{2\cdot 0\bigl((-1) - 1\bigr)}{1 - 3\cdot 0^{2}\cdot(-1)^{2}} = \dfrac{0}{1}=0.
Portanto y'(0)=0. Parabéns — a derivada primeira no ponto é zero.

Passo 6

Preparar a diferenciação de segunda ordem: estratégia e notação auxiliar.
Para encontrar y''(0) vamos diferenciar novamente a equação já derivada, isto é, a igualdade
e^{x^{2}+y+1}(2x+y') = 3x^{2}y^{2}y' + 2x y^{3}.
É prático introduzir uma notação curta para a exponencial:
E(x):=e^{x^{2}+y+1}.
Note que E'(x)=E(x)(2x+y') pela regra da cadeia (mesma operação feita antes). Usaremos produto e cadeia várias vezes; farei tudo passo a passo para não pular nada.

Passo 7

Derivar novamente e isolar y'' (contas detalhadas).
Derivando a igualdade
E(2x+y') = 3x^{2}y^{2}y' + 2x y^{3},
obtemos, aplicando produto e cadeia cuidadosamente:
Lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl(E(2x+y')\bigr)=E'(2x+y') + E(2 + y'').
Mas E'=E(2x+y'), então
E'(2x+y') = E(2x+y')^{2} = E(2x+y')^{2}.
Logo o lado esquerdo fica
E(2x+y')^{2} + E(2 + y'').
Lado direito: derivar 3x^{2}y^{2}y' + 2x y^{3}.
Começando por 3x^{2}y^{2}y'. É produto de 3, x^{2}, y^{2}, y'. Aplicando a regra do produto passo a passo:
\frac{d}{dx}(3x^{2}y^{2}y') = 3\Bigl[ 2x\cdot y^{2}y' + x^{2}\cdot \frac{d}{dx}(y^{2}y')\Bigr].
Agora
\frac{d}{dx}(y^{2}y') = (y^{2})'y' + y^{2}y'' = 2y y' \cdot y' + y^{2}y'' = 2y (y')^{2} + y^{2}y''.
Portanto
\frac{d}{dx}(3x^{2}y^{2}y') = 3\Bigl[ 2x y^{2}y' + x^{2}\bigl(2y(y')^{2} + y^{2}y''\bigr)\Bigr].
Agora o termo 2x y^{3}:
\frac{d}{dx}(2x y^{3}) = 2\bigl( y^{3} + x\cdot 3y^{2}y'\bigr) = 2y^{3} + 6x y^{2}y'.
Somando, o lado direito é
3\Bigl[ 2x y^{2}y' + x^{2}\bigl(2y(y')^{2} + y^{2}y''\bigr)\Bigr] + 2y^{3} + 6x y^{2}y'.
Vamos simplificar alguns termos:
  • 3\cdot 2x y^{2}y' = 6x y^{2}y'.
  • Somando com o outro 6x y^{2}y' 12x y^{2}y'.
  • 3 x^{2}\cdot 2y(y')^{2} = 6 x^{2} y (y')^{2}.
  • 3 x^{2}\cdot y^{2} y'' = 3 x^{2} y^{2} y''.
Assim o lado direito final é
12x y^{2}y' + 6 x^{2} y (y')^{2} + 3 x^{2} y^{2} y'' + 2 y^{3}.
Agora igualamos o lado esquerdo e direito:
E(2x+y')^{2} + E(2 + y'') = 12x y^{2}y' + 6 x^{2} y (y')^{2} + 3 x^{2} y^{2} y'' + 2 y^{3}.
Agrupando os termos com y'' em um lado:
E y'' - 3 x^{2} y^{2} y'' = 12x y^{2}y' + 6 x^{2} y (y')^{2} + 2 y^{3} - E(2x+y')^{2} - 2E.
Fatorando y'' no lado esquerdo:
y''\bigl(E - 3 x^{2} y^{2}\bigr) = 12x y^{2}y' + 6 x^{2} y (y')^{2} + 2 y^{3} - E(2x+y')^{2} - 2E.
Finalmente,
\boxed{\,y'' = \dfrac{12x y^{2}y' + 6 x^{2} y (y')^{2} + 2 y^{3} - E(2x+y')^{2} - 2E}{\,E - 3 x^{2} y^{2}\,}\,}
onde lembramos que E=e^{x^{2}+y+1}.

Passo 8

Avaliar y''(0) usando os valores conhecidos: x=0, y(0)=-1, y'(0)=0, E(0)=e^{0^{2}+(-1)+1}=1.
Substituir termo a termo na fórmula de y'':
  • 12x y^{2}y' = 12\cdot 0 \cdot (-1)^{2}\cdot 0 = 0.
  • 6 x^{2} y (y')^{2} = 6\cdot 0^{2}\cdot (-1)\cdot 0^{2} = 0.
  • 2 y^{3} = 2\cdot (-1)^{3} = -2.
  • E(2x+y')^{2} = 1\cdot (2\cdot 0 + 0)^{2} = 0.
  • 2E = 2\cdot 1 = 2.
  • Denominador E - 3 x^{2} y^{2} = 1 - 0 = 1.
Portanto o numerador é
0 + 0 - 2 - 0 - 2 = -4,
e o denominador é 1. Assim
y''(0) = -4.

Resposta

y'(0)=0
y''(0)=-4

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