Se \lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty}\left[\frac{\mathrm{ax}+1}{\mathrm{ax}-1}\right]^{\mathrm{x}}=9, determinar a.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de a tal que
\lim_{x\to+\infty}\Bigl[\frac{ax+1}{ax-1}\Bigr]^{x}=9.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite do tipo \bigl(1+\frac{c}{x}\bigr)^{x}, que converge para e^{c} quando x\to\infty.

Passo 2

Primeiro, observe a base do expoente:
\frac{ax+1}{ax-1} =\frac{ax\bigl(1+\frac{1}{ax}\bigr)}{ax\bigl(1-\frac{1}{ax}\bigr)} =\frac{1+\frac{1}{ax}}{1-\frac{1}{ax}}.
Para x\to\infty, temos \frac{1}{ax}\to0, então essa fração é próxima de 1.

Passo 3

Para extrair o termo que multiplica x no limite exponencial, aplicamos o logaritmo natural:
\ln\!\Bigl(\frac{ax+1}{ax-1}\Bigr) =\ln\Bigl(1+\frac{1}{ax}\Bigr)-\ln\Bigl(1-\frac{1}{ax}\Bigr).
Usando a expansão para \ln(1+u) com u\to0, temos
\ln\Bigl(1+\frac{1}{ax}\Bigr)\approx\frac{1}{ax},\qquad \ln\Bigl(1-\frac{1}{ax}\Bigr)\approx -\frac{1}{ax}.
Logo,
\ln\!\Bigl(\frac{ax+1}{ax-1}\Bigr)\approx \frac{1}{ax}-\bigl(-\frac{1}{ax}\bigr) =\frac{2}{ax}.

Passo 4

Multiplicando por x, que aparece no expoente, obtemos
x\;\ln\!\Bigl(\frac{ax+1}{ax-1}\Bigr)\approx x\cdot\frac{2}{ax}=\frac{2}{a}.
Portanto, o limite dado satisfaz
\lim_{x\to+\infty}\Bigl[\frac{ax+1}{ax-1}\Bigr]^{x} =\exp\Bigl(\lim_{x\to\infty}x\ln\bigl(\tfrac{ax+1}{ax-1}\bigr)\Bigr) =\exp\!\bigl(\tfrac{2}{a}\bigr).

Passo 5

Como o limite vale 9, deve ocorrer
\exp\!\bigl(\tfrac{2}{a}\bigr)=9.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
\frac{2}{a}=\ln(9) \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{2}{\ln(9)}.
Podemos ainda usar \ln(9)=2\ln(3), o que dá a=1/\ln(3).

Resposta

a=\frac{2}{\ln(9)}=\frac{1}{\ln(3)}.

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