Verifique se \left\{\begin{array}{c}x=\operatorname{arcsen}(t) \\\ y=\sqrt{1-t^{2}}\end{array}\right. satisfaz a equação \operatorname{sen} x \cdot \frac{d^{2} y}{d^{2} x}-y \frac{d y}{d x}=0 no intervalo ]-1,1[

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
x = \operatorname{arcsen}(t),\quad y = \sqrt{1 - t^{2}},\quad t\in\bigl(-1,1\bigr)
e pede para verificar que essa curva satisfaz a equação diferencial
\sin x \,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;-\; y\,\frac{dy}{dx} \;=\; 0.
Para isso vamos usar derivação paramétrica (regra da cadeia) e as derivadas conhecidas de \operatorname{arcsen} e de \sqrt{1-t^{2}}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{dy}{dx} via
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.
Temos
\frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{arcsen}(t)\bigr) =\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},
\frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{1-t^{2}}\bigr) =\frac{-t}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Logo
\frac{dy}{dx} =\frac{-t/\sqrt{1-t^{2}}}{1/\sqrt{1-t^{2}}} =-\,t.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} como derivada de \frac{dy}{dx}=-t em relação a x:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} =\frac{d}{dx}(-t) =-1\cdot\frac{dt}{dx}.
Mas \displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \sqrt{1-t^{2}}. Portanto
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} =-\,\sqrt{1-t^{2}}.

Passo 4

Agora substituímos na equação diferencial:
\sin x = \sin\bigl(\operatorname{arcsen}(t)\bigr)=t, \quad y=\sqrt{1-t^{2}}, \quad \frac{dy}{dx}=-t, \quad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\sqrt{1-t^{2}}.
Então
\sin x\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - y\,\frac{dy}{dx} =t\bigl(-\sqrt{1-t^{2}}\bigr) -\sqrt{1-t^{2}}\bigl(-t\bigr) = -\,t\sqrt{1-t^{2}} + t\sqrt{1-t^{2}} = 0.

Resposta

A parametrização satisfaz a equação \sin x\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\,\frac{dy}{dx}=0 em \,]-1,1[.

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