Nos seguintes exercícios encontre \mathbf{R}^{\prime}(t) e \mathbf{R}^{\prime \prime}(t).
\mathbf{R}(t)=\left(e^{3 t}+2\right) \mathbf{i}+2 e^{3 t} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \mathbf{R}'(t) e \mathbf{R}''(t).
As informações dadas são:
\mathbf{R}(t)=\big(\mathrm{e}^{3t}+2\big)\mathbf{i}+2\mathrm{e}^{3t}\mathbf{j}.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Se tivermos
\mathbf{R}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j},
então
\mathbf{R}'(t)=x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}.

Passo 3

Precisamos também da regra de cadeia para exponencial: se u(t) é uma função de t, então
\frac{d}{dt}\big(\mathrm{e}^{u(t)}\big)=u'(t)\,\mathrm{e}^{u(t)}.
No nosso caso u(t)=3t, então u'(t)=3. Logo
\frac{d}{dt}\big(\mathrm{e}^{3t}\big)=3\mathrm{e}^{3t}.
Um exemplo pequeno para fixar: \frac{d}{dt}\big(\mathrm{e}^{2t}\big)=2\mathrm{e}^{2t}.

Passo 4

Agora derivamos a primeira componente x(t)=\mathrm{e}^{3t}+2. Usando a regra da soma e a regra da cadeia:
x'(t)=\frac{d}{dt}\big(\mathrm{e}^{3t}\big)+\frac{d}{dt}(2)=3\mathrm{e}^{3t}+0=3\mathrm{e}^{3t}.

Passo 5

Derivamos a segunda componente y(t)=2\mathrm{e}^{3t}. É uma constante multiplicando uma exponencial, então
y'(t)=2\cdot\frac{d}{dt}\big(\mathrm{e}^{3t}\big)=2\cdot 3\mathrm{e}^{3t}=6\mathrm{e}^{3t}.

Passo 6

Juntando as derivadas das componentes, obtemos a derivada primeira:
\mathbf{R}'(t)=3\mathrm{e}^{3t}\mathbf{i}+6\mathrm{e}^{3t}\mathbf{j}.
Podemos fatorar \mathrm{e}^{3t} para ver a estrutura:
\mathbf{R}'(t)=3\mathrm{e}^{3t}\big(\mathbf{i}+2\mathbf{j}\big).

Passo 7

Para a segunda derivada, aplicamos de novo a derivação componente a componente à \mathbf{R}'(t). Usamos a mesma regra de cadeia: a derivada de 3\mathrm{e}^{3t} é 3\cdot 3\mathrm{e}^{3t}=9\mathrm{e}^{3t} e a de 6\mathrm{e}^{3t} é 6\cdot 3\mathrm{e}^{3t}=18\mathrm{e}^{3t}.

Passo 8

Portanto a segunda derivada é
\mathbf{R}''(t)=9\mathrm{e}^{3t}\mathbf{i}+18\mathrm{e}^{3t}\mathbf{j}.
Também podemos escrever
\mathbf{R}''(t)=9\mathrm{e}^{3t}\big(\mathbf{i}+2\mathbf{j}\big),
o que mostra que \mathbf{R}'(t) e \mathbf{R}''(t) têm a mesma direção vetorial \mathbf{i}+2\mathbf{j}, apenas escaladas por fatores diferentes.

Passo 9

Resumo rápido para decorar: derive componente a componente; para \mathrm{e}^{at} aparece um fator a ao derivar. Você já consegue aplicar isso direto na prova. Vai dar certo — respira e resolve passo a passo!

Resposta

\mathbf{R}'(t)=3\mathrm{e}^{3t}\mathbf{i}+6\mathrm{e}^{3t}\mathbf{j}
\mathbf{R}''(t)=9\mathrm{e}^{3t}\mathbf{i}+18\mathrm{e}^{3t}\mathbf{j}

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