Nos seguintes exercícios encontre
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
e
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Se tivermos
então
Passo 3
Precisamos também da regra de cadeia para exponencial: se
é uma função de
, então
No nosso caso
, então
. Logo
Um exemplo pequeno para fixar:
.
Passo 4
Agora derivamos a primeira componente
. Usando a regra da soma e a regra da cadeia:
Passo 5
Derivamos a segunda componente
. É uma constante multiplicando uma exponencial, então
Passo 6
Juntando as derivadas das componentes, obtemos a derivada primeira:
Podemos fatorar
para ver a estrutura:
Passo 7
Para a segunda derivada, aplicamos de novo a derivação componente a componente à
. Usamos a mesma regra de cadeia: a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 8
Portanto a segunda derivada é
Também podemos escrever
o que mostra que
e
têm a mesma direção vetorial
, apenas escaladas por fatores diferentes.
Passo 9
Resumo rápido para decorar: derive componente a componente; para
aparece um fator
ao derivar. Você já consegue aplicar isso direto na prova. Vai dar certo — respira e resolve passo a passo!