Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=\cos (x+3 y)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule as segundas derivadas parciais
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\; \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y},\; \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=\cos\bigl(x+3y\bigr).
Portanto as perguntas são: encontrar explicitamente cada uma dessas quatro derivadas parciais de segunda ordem para a função acima.

Passo 2

O que é derivada parcial em poucas palavras e como calculamos aqui. A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a derivada considerando y como constante; análogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y} trata-se de derivar mantendo x fixo. Quando f é composta (aqui \cos aplicada a x+3y) usamos a regra da cadeia: se f(x,y)=g\bigl(h(x,y)\bigr) então
\dfrac{\partial f}{\partial x}=g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot\dfrac{\partial h}{\partial x}, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}=g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot\dfrac{\partial h}{\partial y}.
No nosso caso, tome g(t)=\cos t e h(x,y)=x+3y. A derivada de g é g'(t)=-\sin t. Além disso
\dfrac{\partial h}{\partial x}=1,\qquad \dfrac{\partial h}{\partial y}=3,
pois h(x,y)=x+3y.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x. Aplicando a regra da cadeia descrita:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot \dfrac{\partial h}{\partial x} = -\sin\bigl(x+3y\bigr)\cdot 1.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x} = -\sin\bigl(x+3y\bigr).
Comentário curto: aqui y foi tratado como constante; a derivada interna \dfrac{\partial}{\partial x}(x+3y)=1.

Passo 4

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y. Novamente pela regra da cadeia:
\dfrac{\partial f}{\partial y} = g'\bigl(h(x,y)\bigr)\cdot \dfrac{\partial h}{\partial y} = -\sin\bigl(x+3y\bigr)\cdot 3.
Logo
\dfrac{\partial f}{\partial y} = -3\sin\bigl(x+3y\bigr).
Comentário: aqui x foi considerado constante e \dfrac{\partial}{\partial y}(x+3y)=3.

Passo 5

Agora calculamos as segundas derivadas. Primeiro \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, ou seja derivar \dfrac{\partial f}{\partial x}=-\sin(x+3y) em relação a x, mantendo y constante. Aplicando regra da cadeia novamente (derivada de -\sin t em relação a t é -\cos t):
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-\sin(x+3y)\bigr) = -\cos(x+3y)\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x+3y).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(x+3y)=1, obtemos
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -\cos\bigl(x+3y\bigr).

Passo 6

Em seguida a derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}: derivar \dfrac{\partial f}{\partial x}=-\sin(x+3y) em relação a y. Usamos a regra da cadeia com \dfrac{\partial}{\partial y}(x+3y)=3:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-\sin(x+3y)\bigr) = -\cos(x+3y)\cdot 3.
Portanto
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = -3\cos\bigl(x+3y\bigr).

Passo 7

Agora calcule \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}: derivar \dfrac{\partial f}{\partial y}=-3\sin(x+3y) em relação a x. Aplicando a regra da cadeia com \dfrac{\partial}{\partial x}(x+3y)=1:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-3\sin(x+3y)\bigr) = -3\cos(x+3y)\cdot 1.
Assim
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = -3\cos\bigl(x+3y\bigr).
Observação didática: aqui vemos que \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}. Isso ocorre porque f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (a função composta com \cos é suave), e então os derivados mistos são iguais (teorema de Clairaut).

Passo 8

Finalmente \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}: derivar \dfrac{\partial f}{\partial y}=-3\sin(x+3y) em relação a y. Aplicando a regra da cadeia com \dfrac{\partial}{\partial y}(x+3y)=3:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(-3\sin(x+3y)\bigr) = -3\cos(x+3y)\cdot 3.
Portanto
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = -9\cos\bigl(x+3y\bigr).

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -\cos\bigl(x+3y\bigr)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = -3\cos\bigl(x+3y\bigr)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = -3\cos\bigl(x+3y\bigr)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = -9\cos\bigl(x+3y\bigr)

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