Calcule
e
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule as segundas derivadas parciais
e
da função dada. A função fornecida é
Portanto as perguntas são: encontrar explicitamente cada uma dessas quatro derivadas parciais de segunda ordem para a função acima.
Passo 2
O que é derivada parcial em poucas palavras e como calculamos aqui. A derivada parcial de
em relação a
, denotada
, é a derivada considerando
como constante; análogamente para
trata-se de derivar mantendo
fixo. Quando
é composta (aqui
aplicada a
) usamos a regra da cadeia: se
então
No nosso caso, tome
e
. A derivada de
é
. Além disso
pois
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
. Aplicando a regra da cadeia descrita:
Portanto
Comentário curto: aqui
foi tratado como constante; a derivada interna
.
Passo 4
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
. Novamente pela regra da cadeia:
Logo
Comentário: aqui
foi considerado constante e
.
Passo 5
Agora calculamos as segundas derivadas. Primeiro
, ou seja derivar
em relação a
, mantendo
constante. Aplicando regra da cadeia novamente (derivada de
em relação a
é
):
Como
, obtemos
Passo 6
Em seguida a derivada mista
: derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia com
:
Portanto
Passo 7
Agora calcule
: derivar
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia com
:
Assim
Observação didática: aqui vemos que
. Isso ocorre porque
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas (a função composta com
é suave), e então os derivados mistos são iguais (teorema de Clairaut).
Passo 8
Finalmente
: derivar
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia com
:
Portanto