Calcule
e
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule quatro derivadas parciais de segunda ordem da função dada. A função fornecida é
As perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes do enunciado:
- A função é o produto de
e . - Não há restrições adicionais (domínio padrão
).
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar e entender duas regras simples que vamos usar repetidamente:
- Regra do produto para derivadas parciais:
See são funções, então
onde
significa derivar
em relação a
mantendo
fixo.
- Regra da cadeia para exponencial:
Secom função de , então
No nosso caso
, portanto
e
Vou aplicar essas regras primeiro para obter as derivadas parciais de primeira ordem, e a partir delas calcular as segundas ordens.
Passo 3
Calcular
.
Aqui
. Ao derivar em relação a
, o fator
é tratado como constante (porque depende só de
). Aplicando a regra do produto (ou olhando que é constante vezes
):
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Aqui
é uma constante quando derivamos em relação a
. Aplicando regra da cadeia ao exponencial:
Portanto
Passo 5
Calcular
.
Diferencio
em relação a
. Novamente
é constante em relação a
, então:
Assim
Passo 6
Calcular
.
Aqui vou diferenciar
em relação a
. Agora
é tratado como constante e aplico a regra da cadeia ao exponencial:
Portanto
Passo 7
Calcular
.
Agora diferencio
em relação a
. Ao derivar em
,
é constante, então aplico a derivada de
:
Portanto
o que coincide com
(como esperado pelo teorema de Clairaut para funções suaves).
Passo 8
Calcular
.
Diferencio
em relação a
. Aqui
é constante e aplico a regra da cadeia sobre
:
Portanto