Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=x^{2} e^{7 y}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule quatro derivadas parciais de segunda ordem da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=x^{2} e^{7y}.
As perguntas são:
  • Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
  • Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}.
  • Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é o produto de x^{2} e e^{7y}.
  • Não há restrições adicionais (domínio padrão (x,y)\in\mathbb{R}^{2}).

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar e entender duas regras simples que vamos usar repetidamente:
  1. Regra do produto para derivadas parciais:
    Se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x},
onde \dfrac{\partial u}{\partial x} significa derivar u em relação a x mantendo y fixo.
  1. Regra da cadeia para exponencial:
    Se v(y)=e^{g(y)} com g(y) função de y, então
\frac{d}{dy}e^{g(y)}=g'(y)\,e^{g(y)}.
No nosso caso g(y)=7y, portanto g'(y)=7 e
\frac{d}{dy}e^{7y}=7e^{7y}.
Vou aplicar essas regras primeiro para obter as derivadas parciais de primeira ordem, e a partir delas calcular as segundas ordens.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Aqui f(x,y)=x^{2}\cdot e^{7y}. Ao derivar em relação a x, o fator e^{7y} é tratado como constante (porque depende só de y). Aplicando a regra do produto (ou olhando que é constante vezes x^{2}):
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)\cdot e^{7y}=2x\cdot e^{7y}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=2x e^{7y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Aqui x^{2} é uma constante quando derivamos em relação a y. Aplicando regra da cadeia ao exponencial:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\cdot \frac{d}{dy}\big(e^{7y}\big)=x^{2}\cdot 7e^{7y}=7x^{2} e^{7y}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=7x^{2} e^{7y}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
Diferencio \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x e^{7y} em relação a x. Novamente e^{7y} é constante em relação a x, então:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x e^{7y}\big)=2\cdot e^{7y}.
Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2 e^{7y}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}.
Aqui vou diferenciar \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x e^{7y} em relação a y. Agora 2x é tratado como constante e aplico a regra da cadeia ao exponencial:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2x e^{7y}\big)=2x\cdot \frac{d}{dy}e^{7y}=2x\cdot 7e^{7y}=14x e^{7y}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=14x e^{7y}.

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}.
Agora diferencio \dfrac{\partial f}{\partial y}=7x^{2} e^{7y} em relação a x. Ao derivar em x, e^{7y} é constante, então aplico a derivada de 7x^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(7x^{2} e^{7y}\big)=7\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)\cdot e^{7y}=7\cdot 2x\cdot e^{7y}=14x e^{7y}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=14x e^{7y},
o que coincide com \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (como esperado pelo teorema de Clairaut para funções suaves).

Passo 8

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Diferencio \dfrac{\partial f}{\partial y}=7x^{2} e^{7y} em relação a y. Aqui 7x^{2} é constante e aplico a regra da cadeia sobre e^{7y}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=7x^{2}\cdot \frac{d}{dy}e^{7y}=7x^{2}\cdot 7e^{7y}=49x^{2} e^{7y}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=49x^{2} e^{7y}.

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2 e^{7y}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=14x e^{7y}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=14x e^{7y}
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=49x^{2} e^{7y}

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