Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} dos seguintes campos escalares:
(a) f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), \quad(x, y) \neq(0,0),

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big) definida para (x,y)\neq(0,0) e pede o valor da derivada parcial mista \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • O ponto (0,0) está excluído do domínio, então só consideraremos (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\neq0.
  • A notação \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} significa que primeiro se toma \dfrac{\partial f}{\partial y} (derivada parcial em relação a y) e em seguida se deriva esse resultado em relação a x.

Passo 2

Revisão rápida das regras que vamos usar (passo-a-passo, sem pular):
  • Regra da cadeia para logaritmo: se g(u)=\ln(u), então g'(u)=\dfrac{1}{u}. Em derivadas parciais, ao derivar \ln\!\big(u(x,y)\big) em relação a uma variável, aplica-se a regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial t}\ln\!\big(u(x,y)\big)=\dfrac{1}{u(x,y)}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial t}, tratando a outra variável como constante.
  • Derivada de u(x,y)=x^{2}+y^{2}: \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x e \dfrac{\partial u}{\partial y}=2y.
  • Para simplificar a derivação posterior, é conveniente reescrever frações como potências: \dfrac{1}{(x^{2}+y^{2})}=(x^{2}+y^{2})^{-1}. A derivada de (\cdot)^{-1} segue a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}v^{-1}=-v^{-2}\,v'.

Passo 3

Calcular primeiro \dfrac{\partial f}{\partial y}. Aplicando a regra da cadeia com u(x,y)=x^{2}+y^{2}:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big) = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y = \frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Explicando: ao derivar em relação a y, x é tratado como constante, e a derivada de y^{2} é 2y.

Passo 4

Agora precisamos derivar esse resultado em relação a x: calcular \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{2y}{x^{2}+y^{2}}\right). Como y é constante ao derivar em relação a x, é útil escrever
\frac{2y}{x^{2}+y^{2}} = 2y\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Aqui 2y é constante (em relação a x), e aplicamos a regra da cadeia para (x^{2}+y^{2})^{-1}.

Passo 5

Derivando 2y\,(x^{2}+y^{2})^{-1} em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(2y\,(x^{2}+y^{2})^{-1}\right) = 2y \cdot \frac{\partial}{\partial x}\!\big((x^{2}+y^{2})^{-1}\big).
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\!\big((x^{2}+y^{2})^{-1}\big) = -1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\!(x^{2}+y^{2}) = -(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x.
Multiplicando:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} = 2y \cdot \big(-2x\big)\,(x^{2}+y^{2})^{-2} = -4xy\,(x^{2}+y^{2})^{-2}.

Passo 6

Simplificando a notação para uma forma comum de resposta:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} = -\frac{4xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).
Comentário rápido de verificação: se primeiro derivarmos em x e depois em y (isto é, calcular \dfrac{\partial}{\partial y}\big(\dfrac{\partial f}{\partial x}\big)), obtém-se o mesmo resultado — isso é esperado porque f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas fora da origem (teorema de Clairaut), então as derivadas mistas coincidem.

Resposta

-\dfrac{4xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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