Calcule
dos seguintes campos escalares:
(a)
,
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
e pede o valor da derivada parcial mista
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto
está excluído do domínio, então só consideraremos tais que . - A notação
significa que primeiro se toma (derivada parcial em relação a ) e em seguida se deriva esse resultado em relação a .
Passo 2
Revisão rápida das regras que vamos usar (passo-a-passo, sem pular):
- Regra da cadeia para logaritmo: se
, então . Em derivadas parciais, ao derivar em relação a uma variável, aplica-se a regra da cadeia: , tratando a outra variável como constante. - Derivada de
: e . - Para simplificar a derivação posterior, é conveniente reescrever frações como potências:
. A derivada de segue a regra da cadeia: .
Passo 3
Calcular primeiro
. Aplicando a regra da cadeia com
:
Explicando: ao derivar em relação a
,
é tratado como constante, e a derivada de
é
.
Passo 4
Agora precisamos derivar esse resultado em relação a
: calcular
. Como
é constante ao derivar em relação a
, é útil escrever
Aqui
é constante (em relação a
), e aplicamos a regra da cadeia para
.
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Multiplicando:
Passo 6
Simplificando a notação para uma forma comum de resposta:
Comentário rápido de verificação: se primeiro derivarmos em
e depois em
(isto é, calcular
), obtém-se o mesmo resultado — isso é esperado porque
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas fora da origem (teorema de Clairaut), então as derivadas mistas coincidem.