Calcule
sendo
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
. Informações importantes dadas:
A tarefa é obter a derivada parcial terceira que envolve duas diferenciações em
e uma em
. Não há figura nem tabela adicional.
Passo 2
Interpretação do símbolo
: isso significa que se toma uma derivada parcial em
e, depois, duas derivadas parciais em
(ou seja, aplicar
uma vez e
duas vezes). Como
é suave em seu domínio (é composição de funções polinomiais e
), as derivadas mistas comutam (teorema de Clairaut), então a ordem não altera o resultado. Vou calcular primeiro
, depois
duas vezes sobre esse resultado.
Passo 3
Regra que vou usar (cadeia): se
e
, então
Como
(tratando
como constante), obtemos
Passo 4
Agora calculo a primeira derivada em
de
. É conveniente escrever
e derivar em
tratando
como constante. Usando produto e cadeia:
Derivada de
em
é
. Logo
Passo 5
Agora aplico a segunda derivada em
sobre
. Escrevo
onde
é constante. Vou usar a regra do produto para
:
A derivada de
é, por cadeia, (-2,(x{2}+y{2})^{-3}\cdot 2x=-4x(x{2}+y{2})^{-3}. Portanto
Passo 6
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos a derivada desejada:
Agora simplifico somando as parcelas sobre o mesmo denominador
:
O numerador fica
. Assim
Passo 7
Faço a troca de sinal no numerador para escrever de forma mais agradável:
Lembre que tudo vale para
. Também dá para verificar (se quiser) que obtendo as derivadas numa ordem diferente o resultado é o mesmo, pela suavidade de
.