Calcule \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} sendo f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y} onde f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big). Informações importantes dadas:
f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big),\qquad\text{o domínio é }(x,y)\in\mathbb{R}^2\text{ com }(x,y)\neq(0,0).íé
A tarefa é obter a derivada parcial terceira que envolve duas diferenciações em x e uma em y. Não há figura nem tabela adicional.

Passo 2

Interpretação do símbolo \displaystyle \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}: isso significa que se toma uma derivada parcial em y e, depois, duas derivadas parciais em x (ou seja, aplicar \partial/\partial y uma vez e \partial/\partial x duas vezes). Como f é suave em seu domínio (é composição de funções polinomiais e \ln), as derivadas mistas comutam (teorema de Clairaut), então a ordem não altera o resultado. Vou calcular primeiro \partial f/\partial y, depois \partial/\partial x duas vezes sobre esse resultado.

Passo 3

Regra que vou usar (cadeia): se g(u)=\ln(u) e u(x,y)=x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{d}{du}\ln(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}).
Como \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y (tratando x como constante), obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Agora calculo a primeira derivada em x de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. É conveniente escrever
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\,(x^{2}+y^{2})^{-1}
e derivar em x tratando y como constante. Usando produto e cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\big[2y\,(x^{2}+y^{2})^{-1}\big]=2y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big[(x^{2}+y^{2})^{-1}\big].
Derivada de (x^{2}+y^{2})^{-1} em x é -1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x=-2x(x^{2}+y^{2})^{-2}. Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=2y\cdot\big(-2x(x^{2}+y^{2})^{-2}\big)=-4\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora aplico a segunda derivada em x sobre \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=-4xy(x^{2}+y^{2})^{-2}. Escrevo
g(x)= -4y\; x\;(x^{2}+y^{2})^{-2},
onde y é constante. Vou usar a regra do produto para x\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}:
\frac{d}{dx}\big[x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\big]=(x^{2}+y^{2})^{-2}+x\cdot\frac{d}{dx}\big[(x^{2}+y^{2})^{-2}\big].
A derivada de (x^{2}+y^{2})^{-2} é, por cadeia, (-2,(x{2}+y{2})^{-3}\cdot 2x=-4x(x{2}+y{2})^{-3}. Portanto
\frac{d}{dx}\big[x\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\big]=(x^{2}+y^{2})^{-2}-4x^{2}(x^{2}+y^{2})^{-3}.)

Passo 6

Multiplicando pelo fator -4y que estava fora, obtemos a derivada desejada:
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}=-4y\left[(x^{2}+y^{2})^{-2}-4x^{2}(x^{2}+y^{2})^{-3}\right].
Agora simplifico somando as parcelas sobre o mesmo denominador (x^{2}+y^{2})^{3}:
-4y\left[\frac{x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}-\frac{4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\right]=-4y\frac{x^{2}+y^{2}-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
O numerador fica x^{2}+y^{2}-4x^{2}=-3x^{2}+y^{2}. Assim
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}=-4y\frac{-3x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

Passo 7

Faço a troca de sinal no numerador para escrever de forma mais agradável:
\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}=4y\frac{3x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
Lembre que tudo vale para (x,y)\neq(0,0). Também dá para verificar (se quiser) que obtendo as derivadas numa ordem diferente o resultado é o mesmo, pela suavidade de f.

Resposta

\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}=\frac{4y\,(3x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}

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