Data a função
e
, calcule
Passo 1
O enunciado dá as funções
A pergunta é: calcular
, ou seja, a derivada de
em relação a
, sabendo que
e
dependem de
.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas. Primeiro identificamos a função interna
de modo que
A regra da cadeia diz que, quando
,
Agora vamos lembrar a derivada de
.
Passo 3
Regra para derivada da tangente: para uma função
dependente de
,
Ou seja, ao derivar
obtemos
multiplicado pela derivada de
em relação a
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora calculamos
. Usamos a soma de derivadas e a regra da cadeia para potências:
Aqui apliquei a fórmula
, válida para qualquer função
.
Passo 5
Calculamos
e
a partir das expressões dadas:
assumindo aqui que
é o logaritmo natural. Substituindo em
obtemos
Passo 6
Agora substituímos isso em
. Podemos fatorar o
:
Finalmente, substituímos
e
para deixar tudo em função de
: