Data a função z=\operatorname{tg}\left(x^{2}+y^{2}\right) \operatorname{com} x=t^{2}-3 t e y=\log t, calcule \frac{d z}{d t}

Passo 1

O enunciado dá as funções
z=\operatorname{tg}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),
x=t^{2}-3t,
y=\log t.
A pergunta é: calcular \dfrac{dz}{dt}, ou seja, a derivada de z em relação a t, sabendo que x e y dependem de t.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas. Primeiro identificamos a função interna
u(x,y)=x^{2}+y^{2},
de modo que
z=\operatorname{tg}\bigl(u\bigr).
A regra da cadeia diz que, quando z=\operatorname{tg}(u(t)),
\frac{dz}{dt}=\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{tg}(u)\bigr)\cdot\frac{du}{dt}.
Agora vamos lembrar a derivada de \operatorname{tg}.

Passo 3

Regra para derivada da tangente: para uma função u dependente de t,
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{tg}(u)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Ou seja, ao derivar \operatorname{tg}(u) obtemos \operatorname{sec}^{2}(u) multiplicado pela derivada de u em relação a t. Aplicando isso:
\frac{dz}{dt}=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u\bigr)\cdot\frac{du}{dt}=\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{d}{dt}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr). Usamos a soma de derivadas e a regra da cadeia para potências:
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(y^{2}\bigr)=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}.
Aqui apliquei a fórmula \dfrac{d}{dt}\bigl(w^{2}\bigr)=2w\cdot \dfrac{dw}{dt}, válida para qualquer função w(t).

Passo 5

Calculamos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das expressões dadas:
x=t^{2}-3t \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=2t-3.
y=\log t \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=\frac{1}{t},
assumindo aqui que \log t é o logaritmo natural. Substituindo em 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt} obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2x(2t-3)+2y\cdot\frac{1}{t}.

Passo 6

Agora substituímos isso em \dfrac{dz}{dt}=\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot\bigl(2x(2t-3)+2y\cdot\tfrac{1}{t}\bigr). Podemos fatorar o 2:
\frac{dz}{dt}=2\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\left[x(2t-3)+\frac{y}{t}\right].
Finalmente, substituímos x=t^{2}-3t e y=\log t para deixar tudo em função de t:
\frac{dz}{dt}=2\operatorname{sec}^{2}\Bigl((t^{2}-3t)^{2}+(\log t)^{2}\Bigr)\left[(t^{2}-3t)(2t-3)+\frac{\log t}{t}\right].

Resposta

\frac{dz}{dt}=2\operatorname{sec}^{2}\Bigl((t^{2}-3t)^{2}+(\log t)^{2}\Bigr)\left[(t^{2}-3t)(2t-3)+\frac{\log t}{t}\right].

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