Dada a função z=x^{2}+y^{2} \operatorname{com} x=r \cos (t) e y=r \operatorname{sen}(t), calcule:
\frac{\partial z}{\partial r} \text { e } \frac{\partial z}{\partial t}

Passo 1

O enunciado dá a função \;z = x^{2} + y^{2}\; com as substituições \;x = r\cos(t)\; e \;y = r\sin(t)\;. Pede para calcular
\frac{\partial z}{\partial r} \quad\text{e}\quad \frac{\partial z}{\partial t}.
Informações relevantes fornecidas:
\;z é dada em termos de \;x e \;y.
\;x e \;y são expressas em termos de \;r e \;t.
Assumimos que \;r e \;t são as variáveis independentes ao tomar derivadas parciais.

Passo 2

O que vamos fazer (resumido antes de começar): tratar \;z como composição de funções \;z(x,y) com (x(r,t),y(r,t)) e usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Antes de aplicar a regra, é bom entender o que significa cada derivada parcial:
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} é a taxa de variação de z quando variamos r mantendo t fixo.
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} é a taxa de variação de z quando variamos t mantendo r fixo.
Agora vamos calcular as derivadas parciais necessárias passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y (estas são simples porque z está explícita em x,y):
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big)=2x,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big)=2y.
Explicação: derivada de x^{2} em relação a x é 2x; y^{2} é tratado como constante quando derivamos em relação a x, e vice‑versa.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a r e a t. Lembre que \cos e \sin têm derivadas usuais:
x = r\cos(t)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial r}=\cos(t),\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=-r\sin(t).
y = r\sin(t)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial r}=\sin(t),\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=r\cos(t).
Explicação: para \partial x/\partial r derivamos r (produto r\cdot\cos t) vendo \cos t como constante; para \partial x/\partial t derivamos em t o fator \cos t e mantemos r.

Passo 5

Escrever a regra da cadeia para derivadas parciais (fórmulas que relacionam as derivadas):
\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicação: cada variação de z por r ou t passa pelas variações de x e y; somamos as contribuições de x e y.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial r} substituindo as derivadas encontradas:
\frac{\partial z}{\partial r} = (2x)\cdot(\cos t) + (2y)\cdot(\sin t).
Agora substituímos x=r\cos t e y=r\sin t:
\frac{\partial z}{\partial r} = 2(r\cos t)\cos t + 2(r\sin t)\sin t = 2r\big(\cos^{2}t+\sin^{2}t\big).
Usamos a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, portanto
\frac{\partial z}{\partial r}=2r.
Comentário didático: esse resultado faz sentido porque x^{2}+y^{2}=r^{2}, então variando r esperamos algo como 2r.

Passo 7

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} substituindo na regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial t} = (2x)\cdot(-r\sin t) + (2y)\cdot(r\cos t).
Fatorando 2r:
\frac{\partial z}{\partial t} = 2r\big(-x\sin t + y\cos t\big).
Agora substituímos x=r\cos t e y=r\sin t:
\frac{\partial z}{\partial t} = 2r\big(-r\cos t\sin t + r\sin t\cos t\big) = 2r\big(0\big)=0.
Explicação: as duas parcelas se cancelam exatamente; geometricamente, z=x^{2}+y^{2}=r^{2} não depende do ângulo t, então a derivada em relação a t é zero.

Passo 8

Verificação rápida (atalho que geralmente uso em prova): reconheça que
z=x^{2}+y^{2}=(r\cos t)^{2}+(r\sin t)^{2}=r^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=r^{2}.
Derivando diretamente \;z=r^{2}\; em relação a r e t \;\partial z/\partial r=2r e \;\partial z/\partial t=0, confirmando os resultados anteriores.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial r}=2r
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=0

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