Dada a função
e
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá a função
com as substituições
e
. Pede para calcular
Informações relevantes fornecidas:
é dada em termos de
e
.
e
são expressas em termos de
e
.
Assumimos que e
são as variáveis independentes ao tomar derivadas parciais.
Assumimos que
Passo 2
O que vamos fazer (resumido antes de começar): tratar
como composição de funções
com
e usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Antes de aplicar a regra, é bom entender o que significa cada derivada parcial:
é a taxa de variação de
quando variamos
mantendo
fixo.
é a taxa de variação de
quando variamos
mantendo
fixo.
Agora vamos calcular as derivadas parciais necessárias passo a passo.
Agora vamos calcular as derivadas parciais necessárias passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
(estas são simples porque
está explícita em
):
Explicação: derivada de
em relação a
é
;
é tratado como constante quando derivamos em relação a
, e vice‑versa.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e a
. Lembre que
e
têm derivadas usuais:
Explicação: para
derivamos
(produto
) vendo
como constante; para
derivamos em
o fator
e mantemos
.
Passo 5
Escrever a regra da cadeia para derivadas parciais (fórmulas que relacionam as derivadas):
Explicação: cada variação de
por
ou
passa pelas variações de
e
; somamos as contribuições de
e
.
Passo 6
Calcular
substituindo as derivadas encontradas:
Agora substituímos
e
:
Usamos a identidade trigonométrica
, portanto
Comentário didático: esse resultado faz sentido porque
, então variando
esperamos algo como
.
Passo 7
Calcular
substituindo na regra da cadeia:
Fatorando
:
Agora substituímos
e
:
Explicação: as duas parcelas se cancelam exatamente; geometricamente,
não depende do ângulo
, então a derivada em relação a
é zero.
Passo 8
Verificação rápida (atalho que geralmente uso em prova): reconheça que
Derivando diretamente
em relação a
e
dá
e
, confirmando os resultados anteriores.